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Polynômes irréductibles - Valuations
Le test comporte 3 questions :
Irréductibilité sur Q, sur R
Valuations et décompositions en facteurs irréductibles
Polynôme irréductible divisant une puissance
La durée indicative du test est de 30 minutes.
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Irréductibilité sur Q, sur R

Étudier l'irréductibilité du polynôme dans , puis dans .

Valuations et décompositions en facteurs irréductibles

Dans on considère les polynômes suivants :

On recherche un polynôme unitaire satisfaisant à et .

  1. En supposant l'existence de , établir la liste des polynômes unitaires irréductibles qui le divisent.

  2. En supposant l'existence de , calculer la valuation de en chaque polynôme de la liste précédente.

  3. Conclure sur l'existence de et donner sa décomposition en facteurs irréductibles.

Polynôme irréductible divisant une puissance

Soient et deux éléments de , étant irréductible.

Montrer, que s'il existe un entier strictement positif tel que divise , alors divise .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Irréductibilité sur Q, sur R

1ère étape : étude dans .

On raisonne par l'absurde (4 pts). Supposons non irréductible dans , il existe alors deux polynômes et , unitaires, non constants, à coefficients rationnels, tels que ,

or , donc .

Ainsi il existe deux rationnels et tels que

, , ,

D'où

Ainsi il existerait un rationnel de carré 6.

Alors , les entiers et étant premiers entre eux et d'où ,

le nombre 3, divisant 6, divise le carré , de plus il est premier donc il divise le nombre .

Ainsi , d'où et , on en déduit que 3, divisant et étant premier avec 2, divise aussi . Alors 3 est un diviseur commun à et , ce qui contredit la propriété : "les entiers et sont premiers entre eux".

Donc il n'existe pas de rationnel de carré 6.(5 pts)

Conclusion : le polynôme est irréductible dans .(5 pts)

2ième étape : étude dans

On a immédiatement donc

le polynôme n'est pas irréductible dans .(6 pts)

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Valuations et décompositions en facteurs irréductibles
  1. (8 pts) Supposons donc l'existence de .

    Par définition du PGCD tout polynôme irréductible diviseur de est un polynôme irréductible diviseur de .

    Par définition du PPCM tout polynôme irréductible diviseur de B est un polynôme irréductible diviseur de .

    En utilisant le théorème : Lien entre décomposition en éléments irréductibles et la notion de PPCM, tout facteur irréductible de est nécessairement un facteur irréductible de ou de .

    Donc et , qui sont les facteurs irréductibles de , sont aussi des facteurs irréductibles de .

    En examinant les facteurs irréductibles de , il reste à étudier et .

    Le premier est un facteur irréductible de et ne divise pas , donc il ne peut pas diviser .

    Le second ne divise pas donc il divise nécessairement .

    D'où la liste demandée : .

  2. (7 pts) On vient d'établir que si existe, alors il existe trois entiers positifs

    tels que .

    En utilisant le théorème : Lien entre décomposition en éléments irréductibles et les notions de PGCD et de PPCM, on obtient

    , donc d'où

    , donc d'où

    , donc d'où .

    Ainsi .

  3. (5 pts) D'après les questions précédentes, si le polynôme existe, alors il est égal à .

    On vérifie aisément que ce dernier polynôme est unitaire, que son PGCD avec est et que son PPCM avec est . C'est donc une solution au problème posé.

    Il y a unicité d'après les questions 1. et 2..

    Enfin .

    Remarque : Le but de l'exercice était de travailler sur la notion de valuation.

    Si on recherchait seulement , l'utilisation de la relation : aurait mené plus directement au résultat.

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Polynôme irréductible divisant une puissance

On utilise un raisonnement par récurrence.(5 pts)

Notons la propriété : divise divise .

Il est évident que la propriété est satisfaite.(5 pts)

Supposons satisfaite, montrons que est aussi satisfaite.

On part donc de l'hypothèse : divise , donc divise le produit .

Comme est irréductible, il divise nécessairement l'un des facteurs. Deux cas peuvent se présenter.

1er cas : divise , c'est ce qu'on cherche.

2ième cas : divise , alors en appliquant on obtient divise .

Dans les deux cas, on atteint la conclusion : divise .

Donc est satisfaite.(10 pts)

Le raisonnement par récurrence est ainsi terminé.

Commentaire : On peut rapprocher ce résultat de celui analogue dans ; si un nombre premier divise une puissance d'un entier, alors il divise cet entier.

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/60
Seuil critique :42
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :30 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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