Valuation d'un produit et valuation d'une somme
Partie
Question
Soient \(P\), \(A\), \(B\), des polynômes unitaires de \(K[X]\), \(P\) désignant un polynôme irréductible.
Trouver une relation entre \(\nu_p(A,B), \nu_p(A),\nu_p(B)\).
Aide à la lecture
Il s'agit d'exprimer \(\nu_p(Ab)\) en fonction de \(\nu_p(A)\) et \(\nu_p(B)\).
Aide méthodologique
Donner un nom à \(\nu_p(A)\) et \(\nu_p(B)\), utiliser le lemme les définissant et en déduire des informations sur \(AB\) ou \(A+B\).
Solution détaillée
Notons \(\alpha=\nu_p(A),\beta=\nu_p(B)\), alors \(A=P^\alpha A_1\), \(B=P^\beta B_1\), \(P\) ne divisant ni \(A_1\) ni \(B_1\).
On en déduit : \(AB=P^{\alpha+\beta}A_1B_1\)et par contraposée de la proposition : Polynôme irréductible divisant un produit, \(P\), irréductible, ne divisant ni \(A_1\) ni \(B_1\), ne divise pas leur produit.
Alors \(\nu_p(AB)=\alpha+\beta\), d'où la relation :\(\nu_p(AB)=\nu_p(A)+\nu_p(B)\).
Question
On suppose \(\nu_p(A)<\nu_p(B)\), démontrer la relation : \(\nu_p(A+B)=\nu_p(A)\).
Aide méthodologique
Donner un nom à \(\nu_p(A)\) et \(\nu_p(B)\), utiliser le lemme les définissant et en déduire des informations sur \(AB\) ou \(A+B\).
Solution détaillée
Notons \(\alpha=\nu_p(A)\), \(\beta=\nu_p(B)\), alors \(A=P^{\alpha}A_1\), \(B=P^{\alpha}B_1\), \(P\) ne divisant ni \(A_1\) ni \(B_1\), \(\alpha<\beta\).
On en déduit : \(A+B=P^{\alpha}(A_1+P^{\beta-\alpha}B_1)=P^{\alpha}C\).
Montrons par l'absurde que \(P\) ne divise pas \(C\).
Supposons que \(P\) divise \(C\), alors \(P\) divise \(C\) et \(P^{\beta-\alpha}B_1(\beta-\alpha>0)\)
donc divise leur différence \(C-P^{\beta-\alpha}B_1(=A_1)\), ce qui est en contraction avec \(P\) ne divise pas \(A_1\).
D'où \(A+B=P^\alpha C\) et \(P\) ne divise pas \(C\). Donc \(\nu_p(A+B)=\alpha=\nu_p(A)\).
Question
Soit les polynômes de \(R[X]\): \(P(X)=X, A(X)=X^5+X^2\), \(B(X)=X^5-X^2\)
Calculer \(\nu_p(A),\nu_p(B),\nu_p(A+B)\).
Aide méthodologique
Donner un nom à \(\nu_p(A)\) et \(\nu_p(B)\), utiliser le lemme les définissant et en déduire des informations sur \(AB\) ou \(A+B\).
Solution détaillée
\(P(X)=X, A(X)=X^5+X^2=X^2(X^3+1), B(X)=X^5-X^2=X^2(X^3-1)\)
\(X\) ne divise ni \(X^3+1\) ni \(X^3-1\) donc \(\nu_p(A)=\nu_p(B)=2\).
\((A+B)(X)=2X^5\) donc \(\nu_p(A+B)=5\).
Remarque : Cette question donne un exemple où l'inégalité est stricte.
Question
On suppose \(\nu_p(A)=\nu_p(B)\), démontrer la relation : \(\nu_p(A+B)\geq \nu_p(A)\).
Aide méthodologique
Donner un nom à \(\nu_p(A)\) et \(\nu_p(B)\), utiliser le lemme les définissant et en déduire des informations sur \(AB\) ou \(A+B\).
Solution détaillée
Notons \(\alpha=\nu_p(A)=\nu_p(B)\), alors \(A=P^\alpha A_1\),\(B=P^\alpha B_1\), \(P\) ne divisant ni \(A_1\) ni \(B_1\).
On en déduit : \(A+B=P^\alpha(A_1+B_1)=P^\alpha C\).
D'après la question 1. \(\nu_p(A+B)=\nu_p(P^\alpha)+\nu_p(C)=\alpha+\nu_p(C)\),
on en déduit l'inégalité : \(\nu_p(A,B)\geq \alpha\), c'est à dire \(\nu_p(A+B)\geq(A)\).