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Ordre de multiplicité d'une racine

Sur les deux exemples précédents, il est possible de faire la remarque suivante : on sait d'avance que si est une racine dans d'un polynôme de , le polynôme est divisible par , mais il peut être divisible par une puissance de strictement supérieure à 1.

C'est le cas dans l'exemple 1 mais pas dans l'exemple 2.

Cela nous conduit à l'introduction de la notion d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme.

Définition : de l'ordre de multiplicité d'une racine

Soit une racine dans de , où est un polynôme non nul de .

Le plus grand entier tel que soit divisible par est appelé l'ordre de multiplicité de la racine dans .

Un tel entier existe bien car l'ensemble des entiers tels que divise est non vide ; il contient l'entier 1 puisque est racine de (théorème précédent), et cet ensemble est fini car majoré par le degré de . Donc il a un plus grand élément (propriété de ).

On peut traduire cette définition de la manière suivante :

Corollaire

Un entier est l'ordre de multiplicité de la racine d'un polynôme si et seulement si il existe un polynôme appartenant à , vérifiant les propriétés suivantes :

et

Vocabulaire : Une racine d'ordre 1, est dite aussi racine simple.

Une racine d'ordre 2 (respectivement 3), est dite aussi racine double (respectivement racine triple).

Exemple
  • Si l'on reprend le polynôme de l'exemple 1, ,

    on observe que est une racine réelle d'ordre 1, et que une racine réelle d'ordre 2.

  • Si l'on reprend le polynôme de l'exemple 2, ,

    on voit que 0 et 1 sont toutes les deux des racines simples de dans .

Il résulte du corollaire la proposition suivante :

Proposition

Soit un polynôme non nul de et soient , racines distinctes de , d'ordre de multiplicité respectif .

Alors il existe un polynôme , élément de , n'admettant aucun des comme racines, vérifiant l'égalité :

Preuve : elle est immédiate, à partir des définitions ou propriétés suivantes :
  • Définition d'une racine et de son ordre de multiplicité

  • Les polynômes de la forme et avec et distincts, et étant des entiers positifs, sont premiers entre eux.

  • Un polynôme, divisible par des polynômes premiers entre eux deux à deux, est divisible par leur produit.

Corollaire : (très important)

Un polynôme non nul, de degré , a au plus racines (si l'on convient de compter une racine d'ordre comme l'équivalent de racines simples).

Ceci est une conséquence immédiate de la proposition et des propriétés du degré du produit des polynômes.

Illustration : Pour un polynôme du troisième degré dans , les possibilités de racines dans sont les suivantes :

aucune racine (par exemple dans )

une racine simple (par exemple dans )

trois racines simples (par exemple dans )

une racine simple et une racine double (par exemple dans )

une racine triple (par exemple dans )

Remarque

la démonstration du premier exemple est basée sur le fait que n'appartient pas à . La justification est tout à fait semblable à celle que l'on fait pour montrer que n'appartient pas à .

Légende :
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