Endomorphisme vérifiant une relation polynomiale
Partie
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel réel, et \(f\) un endomorphisme non nul de \(E\) vérifiant la
relation \(f^2+f-2Id_E=0\) ( \(Id_E\) étant l'application identique de \(E\) dans \(E\)).
Décomposer le polynôme \(P(X)=X^2+X-2\) en produit de deux polynômes premiers entre eux et donner une relation de Bézout entre ces polynômes.
Aide à la lecture
Un endomorphisme de \(E\) est une application linéaire de \(E\) dans \(E\).
\(f^2=f\circ f\)
\(Ker g=\{u\in E,g(u)=0\}\)
Solution détaillée
Il est immédiat que 1 est racine du polynôme \(P(X)=X^2+X-2\)
et qu'on peut écrire \(P(X)=(X-1)(X+2)=(X+2)(X-1)\).
Les polynômes \(X-1\) et \(X+2\) sont unitaires, irréductibles et distincts, ils sont donc premiers entre eux.
De la relation \(X+2=(X-1)+3\), on déduit l'identité de Bézout :
\(1=\frac13(X+2)-\frac13(X-1)\)
Question
En déduire des relations vérifiées par \(f\).
Aide à la lecture
Un endomorphisme de \(E\) est une application linéaire de \(E\) dans \(E\).
\(f^2=f\circ f\)
\(Ker g=\{u\in E,g(u)=0\}\)
Aide méthodologique
L'endomorphisme \(f\) de \(E\) étant fixé, considérer l'application qui au polynôme \(Q(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_kX^k\) de \(R[X]\) associe l'endomorphisme de \(E\) \(Q(f)=a_0Id_E+a_1f+\ldots+a_kf^k\), et remarquer que cette application transforme les sommes de polynômes en sommes d'endomorphismes et les produits de polynômes en compositions d'endomorphismes, en conservant les règles de calcul.
On a par exemple \(P(f)=0\), où 0 est l'application nulle \(x\mapsto 0\).
Solution détaillée
On considère l'application qui au polynôme \(Q(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_kX^k\) de \(R[X]\) associe \(Q(f)=a_0Id_E+a_1f+\ldots+a_kf^k\).
Cette application transforme les sommes de polynômes en sommes d'applications et les produits de polynômes en compositions d'applications, en conservant les règles de calcul.
De \(P(X)=(X-1)(X+2)=(X+2)(X-1)\), on déduit :
\(P(f)=(f-Id_E)\circ(f+2Id_E)=(f+2Id_E)(f-Id_E)\)
et de \(1=\frac13(X+2)-\frac13(X-1)\), on déduit :
\(Id_E=\frac13(f+2Id_E)-\frac13(f-Id_E)\)
Question
Montrer que les noyaux de \(f-Id_E\) et de \(f+2Id_E\) sont supplémentaires :
\(E=Ker(f-Id_E)Ker(f+2Id_E)\)
Aide simple
Montrer par exemple que \(u=\frac13 (f+2Id_E)(u)-\frac13(f-Id_E)(u)\), et que ceci est la décomposition de \(u\) en somme d'un élément de \(Ker(f-Id_E)\) et d'un élément de \(Ker(f+2Id_E)\).
Aide à la lecture
Un endomorphisme de \(E\) est une application linéaire de \(E\) dans \(E\).
\(f^2=f\circ f\)
\(Ker g=\{u\in E,g(u)=0\}\)
Aide méthodologique
Pour montrer que \(E=F\oplus G\), on montre que \(F\cap G=\{0\}\), et que tout élément de \(E\) s'écrit comme la somme d'un élément de \(F\) et d'un élément de \(G\).
Solution détaillée
Pour montrer que \(E=Ker(f-Id_E)\oplus Ker(f+2Id_E)\), on montre d'abord que l'intersection de ces deux noyaux est réduite à 0 :
En effet soit \(u\) appartenant à \(Ker(f-Id_E)\cap Ker(f+2Id_E)\). Alors
\((f-Id_E)(u)=0\), donc \(f(u)=-2u\)
\((f+2Id_E)(u)=0)\), donc \(f(u)=-2u\).
D'où \(u=0\).
On montre ensuite que tout élément \(u\) de \(E\) s'écrit comme la somme d'un élément \(v\)
de \(Ker(f-Id_E)\) et d'un élément \(w\) de \(Ker(f+2Id_E)\):
En effet d'après la question précédente, on peut écrire :
\(Id(u)=u=\frc13(f+2Id_E)(u)-\frac13(f-Id_E)(u)\)
Or d'après les hypothèses \(f^2+f-2Id_E=0\), donc \(P(f)=0\),
donc \((f-Id_E)\left(\frac13(f+2Id_E)(u)\right)=0\) et \((f+2Id_E)\left(-\frac13(f-Id_E)(u)\right)=0\).
Donc l'élément \(v=\frac13(f+2Id_E)(u)\) appartient à \(Ker(f-Id_E)\)
et l'élément \(w=-\frac13(f-Id_E)(u)\) appartient à \(Ker(f+2Id_E)\) et \(u=v+w\).
Donc \(E=Ker(f-Id_E)\oplus Ker(f+2Id_E)\)
Question
Existence de telles applications : on considère l'endomorphisme \(f\) de \(R^2\)
défini par \(f((x,y))=(2x-2y,2x-3y)\). Vérifier que \(f^2+f-2Id_{R^2}=0\).
Aide à la lecture
Un endomorphisme de \(E\) est une application linéaire de \(E\) dans \(E\).
\(f^2=f\circ f\)
\(Ker g=\{u\in E,g(u)=0\}\)
Solution détaillée
Pour tout couple \((x,y)\) de \(R^2\), on considère \(f((x,y))=(2x-2y,2x-3y)\).
Alors \(f^2((x,y))=(2(2x-2y)-2(2x-3y),2(2x-2y)-3(2x-3y))=(2y,-2x+5y)\)
et \((f^2+f-2Id_{R^2})((x,y))=(2y,-2x+5y)+(2x-2y,2x-3y)-2(x,y)=(0,0)\)
donc \(f^2+f-2Id_{R^2}=0\).