Polynôme divisible par son polynôme dérivé
Partie
Question
On se propose de résoudre le problème suivant :
Déterminer les polynômes de \(R[X]\) divisibles par leurs polynômes dérivés.
1. Vérifier que les polynômes \(X, X-1,(X+1)^2\) sont des solutions du problème.
Aide méthodologique
On procède en quatre étapes.
1ère étape : On montre que le problème a un sens en exhibant des exemples de solutions.
2ième étape : On suppose le problème résolu pour un polynôme non nul et on en déduit la forme nécessaire d'un tel polynôme.
3ième étape : Réciproquement on vérifie que la forme particulière trouvée est une solution.
4ième étape : On résout complètement le problème.
Solution détaillée
Il est immédiat que les trois polynômes énoncés conviennent
car \((X)'=1\), \([(X-1)^2]'=2(X-1)\), \([(X+1)^3]'=3(X+1)^2\).
Question
2. On suppose que le polynôme \(P\) non nul, de degré \(n\), de coefficient dominant \(a_n\), est divisible par son polynôme dérivé \(P'\). Démontrer les résultats suivants.
a. L'entier \(n\) est supérieur ou égal à 1.
Aide méthodologique
On procède en quatre étapes.
1ère étape : On montre que le problème a un sens en exhibant des exemples de solutions.
2ième étape : On suppose le problème résolu pour un polynôme non nul et on en déduit la forme nécessaire d'un tel polynôme.
3ième étape : Réciproquement on vérifie que la forme particulière trouvée est une solution.
4ième étape : On résout complètement le problème.
Solution détaillée
Le polynôme \(P\) étant non nul, il possède un degré \(n\) tel que \(n\in N\).
Raisonnons par l'absurde, supposons \(n=0\), alors \(P'=0\) et \(P\), non nul, ne peut pas être multiple de \(P'\).
Conclusion : \(n\in N^*\).
Question
b. Il existe un réel \(\alpha\) tel que \(P(X)=\frac1n(X-\alpha)P'(X)\).
Aide simple
Soit \(Q\) le polynôme tel que \(P=QP'\), utiliser les degrés de \(P\) et \(P'\) puis les coefficients dominants pour trouver la forme de \(Q\).
Solution détaillée
Puisque \(P'\) divise \(P\), il existe un polynôme \(Q\) tel que \(P=QP'\)(*).
Donc \(deg(P)=deg(Q)+deg(P')\) et \(deg(Q)=n-(n-1)=1\).
Alors il existe deux réels \(a\), \(b\) tels que \(a\neq 0\), \(Q(X)=aX+b\).
Les coefficients dominants des polynômes \(P\), \(Q\), \(P'\) sont respectivement \(a_n\), \(a\), \(na_n\).
L'égalité (*) implique \(a_n=a\times na_n\), d'où \(a=\frac1n\) car \(a_n\neq 0\).
On en déduit \(Q(X)=\frac1nX+b=\frac1n(X+nb)=\frac1n(X-\alpha)\), si on désigne par \(\alpha\) le réel \(-nb\).
Conclusion : Il existe un réel \(\alpha\) tel que \(P(X)=\frac1n(X-\alpha)P'(X)\).
Question
c. Si \(k\) est un entier tel que \(0\leq k\leq n\), alors \(P^{(k)}(X)=\frac{1}{n-k}(X-\alpha)P^{(k+1)}(X)\).
Aide simple
Raisonner par récurrence.
Solution détaillée
Raisonnons par récurrence.
Soit \(R(k)\) la relation \(P^{(k)}(X)=\frac{1}{n-k}(X-\alpha)P^{(k+1)}(X)\).
\(R(0)\) est satisfaite d'après la question b.
Supposons \(0\leq k <n-1\) et \(R(k)\) satisfaite, donc
\(P^{(k+1)}(X)=\left(\frac{1}{n-k}(X-\alpha)P^{(k+1)}(X)\right)^t=\frac{1}{n-k}P^{(k+1)}(X)+\frac{1}{n-k}(X-\alpha)P^{(k+2)}(X)\)
d'où \(\left(1-\frac{1}{n-k}\right)P^{(k+1)}(X)=\frac{1}{n-k}(X-\alpha)P^{(k+2)}(X)\)
puis \(P^{(k+1)}(X)=\frac{1}{n-k-1}(X-\alpha)P^{(k+2)}(X)\).
Donc \(R(k+1)\) est satisfaite.
Ceci termine le raisonnement par récurrence.
Question
d. Le polynôme \(P\) vérifie l'égalité : \(P(X)=a_n(X-\alpha)^n\).
Solution détaillée
En appliquant le résultat précédent successivement aux entiers \(0,1,\ldots, n-1\), on démontre par récurrence :
\(P(X)=\frac1n(X-\alpha)P'(X)\) \(P(X)=\frac{1}{n(n-1)}(X-\alpha)^2P''(X)\)
\(\ldots\) \(P(X)=\frac{1}{n(n-1)\ldots 1}(X-\alpha)^nP^{(n)}(X)\)
or \(P^{(n)}(X)=n(n-1)\ldots 1 a_n=n!a_n\).
D'où \(P(X)=a_n(X-\alpha)^n\).
Question
3. Soit le polynôme \(A(X)=\delta(X-\alpha)^n\) où \((n,\delta,\alpha)\in N^*\times R^*\times R\).
Vérifier que le polynôme \(A\) est une solution du problème.
Aide méthodologique
On procède en quatre étapes.
1ère étape : On montre que le problème a un sens en exhibant des exemples de solutions.
2ième étape : On suppose le problème résolu pour un polynôme non nul et on en déduit la forme nécessaire d'un tel polynôme.
3ième étape : Réciproquement on vérifie que la forme particulière trouvée est une solution.
4ième étape : On résout complètement le problème.
Solution détaillée
\(A(X)=\delta(X-\alpha)^n\), \(A'(X)=n\delta(X-\alpha)^{n-1}\) donc \(A(X)=\frac1n(X-\apha)A'(X)\).
Ainsi le polynôme \(A\) est divisible par son polynôme dérivé \(A'\).
Question
4. Décrire l'ensemble \(S\) des solutions du problème posé.
Aide méthodologique
On procède en quatre étapes.
1ère étape : On montre que le problème a un sens en exhibant des exemples de solutions.
2ième étape : On suppose le problème résolu pour un polynôme non nul et on en déduit la forme nécessaire d'un tel polynôme.
3ième étape : Réciproquement on vérifie que la forme particulière trouvée est une solution.
4ième étape : On résout complètement le problème.
Solution détaillée
Le polynôme nul est, de façon évidente, une solution.
D'après les questions 2. et 3., un polynôme non nul \(P\) de degré \(n\) est solution si et seulement si \(n\neq 0\) et \(P\) est de la forme \(A(X)=\delta(X-\alpha)^n\) où \((\delta,\alpha)\in R^*\times R\).
Donc \(S=\{\lambda(X-\alpha)^n; (n,\lambda,\alpha)\in N^*\times R^2\}\).
Remarque : Quand le réel \(\lambda\) est nul, on obtient le polynôme nul.