Calculs avec les racines n-ièmes
Partie
Question
Soit n un entier strictement positif, on note \(\omega_k\),\(0\leq k\leq n-1\), les racines \(n\)-ièmes de l'unité dans \(C\).
Montrer que \(\forall(a,b)\in C^2\) \(\displaystyle\sum^{k=n-1}_{k=0}(a+b\omega_k)=a^n+(-1)^{n+1}b^n\).
Aide simple
Dans le cas \(b\neq 0\), calculer \(P_n\left(-\frac ab\right)\), avec \(P_n(X)=X^n-1\).
Aide à la lecture
Les \(\omega_k\) sont les racines complexes du polynôme \(P_n(X)=X^n-1\)
Aide méthodologique
Distinguer les cas \(b=0\) et \(b\neq 0\), dans ce dernier cas utiliser la décomposition de \(P_n\) en facteurs irréductibles, où \(P_n(X)=X^n-1\).
Solution détaillée
Les racines \(n\)-ièmes de l'unité étant les racines du polynôme \(P_n(X)=X^n-1\), on pense à la décomposition de \(P_n\) en facteurs irréductibles dans \(C[X]\).
\(\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=0}(X-\omega_k)=X^n-1\).
On distingue alors deux cas.
1er cas : \(b=0\)
Le premier membre de (*) devient le produit de \(n\) facteurs identiques
\(\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=0}a=a^n=a^n+(-1)^{n+1}0\), donc l'égalité est satisfaite.
2ième cas : \(b\neq 0\)
Le premier membre de (*) peut être transformé
\(\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=0}(a+b\omega_k)=\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=0}\left[(-b)(-\frac ab-\omega_k)\right]=(-b)^n\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=0}(-\frac ab-\omega_k)=(-b)^nP_n\left(-\frac ab\right)\).
Or \(P_n\left(-\frac ab\right)=\left(-\frac ab\right)^n-1\), donc \((-b)^nP_n\left(-\frac ab\right)=a^n-(-b)^n=a^n+(-1)^{n+1}b^n\).
Et l'égalité est encore satisfaite.