Méthode pour calculer la puissance d'une matrice ou d'un endomorphisme diagonalisable

Comme nous l'avons indiqué dans l'introduction, une des motivations du problème de la diagonalisation est le calcul des puissances de matrices ou d'endomorphismes.

En effet le calcul des puissances de matrices diagonales est simple comme le prouve la propriété suivante :

En effet le calcul des puissances de matrices diagonales est simple comme le prouve la propriété suivante :

Propriété : Puissance d'une matrice diagonale

Soit une matrice diagonale à coefficients dans ,

.

Alors pour tout entier strictement positif , on a

.

La preuve est immédiate, en faisant une démonstration par récurrence sur .

On a le théorème :

Théorème : Puissance d'une matrice diagonalisable

Soit une matrice appartenant à , diagonalisable. Alors peut s'écrire et pour tout entier positif, on a .

Preuve

On fait une démonstration par récurrence :

La propriété est vraie pour .

On la suppose vraie pour .

On la démontre pour .

On a , d'où en utilisant l'associativité du produit de matrices

La propriété est donc héréditaire.

On a donc un procédé pour calculer les puissances d'un endomorphisme diagonalisable.

Il faut remarquer qu'ici le point de vue matriciel a été privilégié pour la démonstration car la formulation des calculs dans ce cadre est beaucoup plus simple.

Exemple

Soit à calculer , avec élément de , et est la matrice réelle .

Le polynôme caractéristique de est égal à . Il est donc scindé dans , la matrice est donc diagonalisable. Tous calculs faits, on trouve avec et donc .

Alors .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)