TEST : Exercices théoriques simples
Le test comporte 3 questions :
Valeur propre complexe d'une matrice réelle
Endomorphismes qui commutent
Matrice de rang 1 diagonalisable
La durée indicative du test est de 40 minutes.
Commencer
Valeur propre complexe d'une matrice réelle

Soit une matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels, admettant une valeur propre complexe non réelle.

  1. Montrer que est diagonalisable dans (ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes).

  2. En déduire que 1 est une valeur propre de si et seulement si , où I2 est la matrice unité d'ordre 2, et donner une condition nécessaire et suffisante vérifiée par pour que cette relation soit vérifiée.

Endomorphismes qui commutent

Soit un espace vectoriel de dimension n sur ( et étant ou ), et soient et des endomorphismes de .

On suppose que et ont chacun valeurs propres distinctes.

Montrer que et commutent (c'est-à-dire ) si et seulement si et ont les mêmes vecteurs propres.

Matrice de rang 1 diagonalisable

Dans cet exercice est égal à ou , est un entier naturel non nul et est une matrice carrée de de rang 1.

  1. Montrer que le polynôme divise le polynôme caractéristique de .

  2. Si n'est pas diagonalisable, quel est son polynôme caractéristique ?

  3. Si est diagonalisable, montrer que est semblable à la matrice :

    ,

    est la trace de la matrice , c'est-à-dire la somme des éléments diagonaux de la matrice .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Valeur propre complexe d'une matrice réelle
  1. Les valeurs propres de sont les racines de son polynôme caractéristique.

    Le polynôme caractéristique de est à coefficients réels, comme est une racine complexe non réelle, sa conjuguée est aussi racine de ce polynôme et est distincte de .

    Comme est une matrice carrée d'ordre 2, son polynôme caractéristique est de degré 2, et comme ce polynôme admet deux racines distinctes, est diagonalisable dans .

  2. D'après la question 1., est diagonalisable, donc il existe une matrice inversible de , telle que :

    .

    On en déduit :

    .

    Donc la matrice Mn admet les deux valeurs propres et .

    Par suite 1 est valeur propre de Mn si et seulement si ou est égal à 1, donc si et seulement si et sont toutes deux égales à 1, donc si et seulement si .

    La condition nécessaire est suffisante que doit vérifiée pour que la relation soit vérifiée est : . Ceci est vérifié si et seulement si il existe un entier tel que .

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Endomorphismes qui commutent

On montre que la condition « et commutent » est suffisante pour que et admettent les mêmes vecteurs propres.

On suppose donc que et commutent : .

Soit un vecteur propre de : il existe un scalaire de tel que .

Donc .

Comme .

Par suite .

On a ainsi montré que appartient au sous-espace propre de associé à la valeur propre .

Or a valeurs propres distinctes, donc chaque sous-espace propre de est de dimension 1 ; comme est non nul et appartient au sous-espace propre de associé à la valeur propre , il en forme une base.

Puisque appartient au sous-espace propre de associé à la valeur propre , il est donc colinéaire à :

il existe un scalaire de tel que :

Le vecteur est un vecteur propre de .

Comme et ont des rôles identiques, on montre de même que tout vecteur propre de est un vecteur propre de .

On montre que la condition « et commutent » est nécessaire pour que et admettent les mêmes vecteurs propres.

On suppose donc que et ont les mêmes vecteurs propres.

Comme et ont chacun valeurs propres distinctes, ils sont diagonalisables, et la base de formée de vecteurs propres de est donc aussi une base de vecteurs propres de . Soit une telle base.

Il existe des scalaires tels que , pour tout entier , et de même il existe des scalaires tels que , pour tout entier , .

Alors pour tout

Donc et étant égaux sur une base de , sont égaux sur tout élément de :

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1
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Matrice de rang 1 diagonalisable
  1. Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est . Le rang de est aussi égal au rang de :

    .

    Par conséquent , et, d'après le théorème de la base incomplète, il existe une base de tel que soit une base de et des scalaires tels que la matrice de dans cette base soit :

    .

    Comme et représentent le même endomorphisme f dans des bases différentes nous avons :

    .

    et Xn-1 divise le polynôme caractéristique de .

  2. Comme , si est différent de 0, f admet deux valeurs propres distinctes :

    • 0 de multiplicité ,

    • de multiplicité 1.

    Notons E0 et les sous-espaces propres associés aux valeurs propres 0 et .

    Comme , nous avons . Comme est de multiplicité 1, nous avons . Par conséquent, lorsque est différent de 0, le polynôme caractéristique de est scindé et la dimension des sous-espaces propres est égale à la multiplicité des valeurs propres associées : est diagonalisable.

    Si est égal à 0, admet une seule valeur propre 0 de multiplicité . Notons E0 le sous-espace propre associé à la valeur propre 0, comme , nous avons . Par conséquent, lorsque est égal à 0, la multiplicité de la valeur propre 0 n'est pas égale à la dimension du sous-espace propre associé : n'est pas diagonalisable.

    Si n'est pas diagonalisable alors n'est pas diagonalisable et nous avons qui est égal à 0. Par conséquent si n'est pas diagonalisable :

    .

  3. L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si est différent de 0. Si les valeurs propres de sont :

    • 0 de multiplicité ,

    • de multiplicité 1,

    et il existe une base de vecteurs propres de telle que la matrice de dans cette base soit la matrice :

    .

    Comme est la matrice de dans la base canonique de , si est diagonalisable alors est diagonalisable et les matrices et sont semblables. Or deux matrices semblables ont la même trace donc .

    Par conséquent, si est diagonalisable, est semblable à la matrice :

    ,.

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/30
Seuil critique :21
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :40 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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