Matrice de rang 1 diagonalisable

Durée : 15 mn

Note maximale : 10

Question

Dans cet exercice \(\mathbf K\) est égal à \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\), \(n\) est un entier naturel non nul et \(A\) est une matrice carrée de \(M_n(\mathbf K)\) de rang 1.

  1. Montrer que le polynôme \(X^{n-1}\) divise le polynôme caractéristique de \(A\).

  2. Si \(A\) n'est pas diagonalisable, quel est son polynôme caractéristique ?

  3. Si \(A\) est diagonalisable, montrer que \(A\) est semblable à la matrice :

    \(\left(\begin{array}{cccccccc} 0&\ldots&0&0\\ &\ddots&&\vdots \\0&\ldots&0&0\\0&\ldots&0&\textrm{tr}(A) \end{array}\right)\),

    où \(\textrm{tr}(A)\) est la trace de la matrice \(A\), c'est-à-dire la somme des éléments diagonaux de la matrice \(A\).

Solution

  1. Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbf K^n\) dont la matrice dans la base canonique est \(A\). Le rang de \(f\) est aussi égal au rang de \(A\) :

    \(\textrm{rang}(f)=\textrm{rang}(A)=1\).

    Par conséquent \(\dim(\ker f)=n-1\), et, d'après le théorème de la base incomplète, il existe une base \((e_1,e_2,...e_n)\) de \(\mathbf K^n\) tel que \((e_1,e_2,...e_{n_1})\) soit une base de \(\ker f\) et des scalaires \(\alpha_1,...,\alpha_n\) tels que la matrice de \(f\) dans cette base soit :

    \(B=\left(\begin{array}{cccccccc} 0&\ldots&0&\alpha_1 \\&\ddots&&\vdots \\0&\ldots&0&\alpha_{n-1} \\ 0&\ldots&0&\alpha_n \end{array}\right)\).

    Comme \(A\) et \(B\) représentent le même endomorphisme f dans des bases différentes nous avons :

    \(P_{car,f}(X)=P_{car,A}(X)=P_{car,B}(X)=(-X)^{n-1}(\alpha_n-X)\).

    et Xn-1 divise le polynôme caractéristique de \(A\).

  2. Comme \(P_{car,f}(X)=(-X)^{n-1}(\alpha_n-X)\), si \(\alpha_n\) est différent de 0, f admet deux valeurs propres distinctes :

    • 0 de multiplicité \(n-1\),

    • \(\alpha_n\) de multiplicité 1.

    Notons E0 et \(E_{\alpha_n}\) les sous-espaces propres associés aux valeurs propres 0 et \(\alpha_n\).

    Comme \(E_0=\ker f\), nous avons \(\dim(E_0)=\dim(\ker f)=n-1\). Comme \(\alpha_n\) est de multiplicité 1, nous avons \(\dim(E_{\alpha_n}=1\). Par conséquent, lorsque \(\alpha_n\) est différent de 0, le polynôme caractéristique de \(f\) est scindé et la dimension des sous-espaces propres est égale à la multiplicité des valeurs propres associées : \(f\) est diagonalisable.

    Si \(\alpha_n\) est égal à 0, \(f\) admet une seule valeur propre 0 de multiplicité \(n\). Notons E0 le sous-espace propre associé à la valeur propre 0, comme \(E_0=\ker f\), nous avons \(\dim(E_0)=\dim(\ker f)=n-1\). Par conséquent, lorsque \(\alpha_n\) est égal à 0, la multiplicité de la valeur propre 0 n'est pas égale à la dimension du sous-espace propre associé : \(f\) n'est pas diagonalisable.

    Si \(A\) n'est pas diagonalisable alors \(f\) n'est pas diagonalisable et nous avons \(\alpha_n\) qui est égal à 0. Par conséquent si \(A\) n'est pas diagonalisable :

    \(P_{car,A}(X)=(-1)^nX^n\).

  3. L'endomorphisme \(f\) est diagonalisable si et seulement si \(\alpha_n\) est différent de 0. Si \(\alpha_n\ne0\) les valeurs propres de \(f\) sont :

    • 0 de multiplicité \(n-1\),

    • \(\alpha_n\) de multiplicité 1,

    et il existe une base de vecteurs propres de \(f\) telle que la matrice de \(f\) dans cette base soit la matrice :

    \(D=\left(\begin{array}{cccccccc} 0&\ldots&0&0\\ &\ddots&&\vdots \\0&\ldots&0&0\\0&\ldots&0&\alpha_n \end{array}\right)\).

    Comme \(A\) est la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf K^n\), si \(A\) est diagonalisable alors \(f\) est diagonalisable et les matrices \(A\) et \(D\) sont semblables. Or deux matrices semblables ont la même trace donc \(\alpha_n=\textrm{tr}(A)\).

    Par conséquent, si \(A\) est diagonalisable, \(A\) est semblable à la matrice :

    \(\left(\begin{array}{cccccccc} 0&\ldots&0&0\\ &\ddots&&\vdots \\0&\ldots&0&0\\0&\ldots&0&\textrm{tr}(A) \end{array}\right)\),.