Polynôme caractéristique d'un produit de matrices

Enoncé

Soit un entier, , et des matrices carrées d'ordre à coefficients dans , étant ou . On note la matrice unité d'ordre .

  1. Montrer que lorsque la matrice est inversible alors les matrices et sont semblables et ont le même polynôme caractéristique.

  2. Dans la suite, la matrice est une matrice carrée, d'ordre , qui n'est pas nécessairement inversible.

    a. Soit un nombre fixé appartenant à , n'étant pas une valeur propre de . Déduire de la question 1. que les matrices et ont le même polynôme caractéristique.

    b. Soient un élément de fixé, et les applications de dans définies pour appartenant à par :

    et .

    Montrer que les applications et sont des fonctions polynômes, et en déduire qu'elles sont égales.

    c. En déduire que les matrices et ont le même polynôme caractéristique.

Temps de résolution indicatif :20 mn
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