Ordre de multiplicité géométrique et algébrique des valeurs propres d'un endomorphisme inversible et de son inverse

Enoncé

Soit un endomorphisme inversible d'un -espace vectoriel de dimension finie ( étant ou ) admettant une valeur propre notée .

Partie A

  1. Montrer que n'est pas nul et si est un vecteur propre de associé à la valeur propre , alors est aussi un vecteur propre de associé à la valeur propre .

  2. En déduire que le sous-espace propre de associé à la valeur propre est égal au sous-espace propre de associé à la valeur propre .

  3. Montrer que si est diagonalisable alors est diagonalisable et si de plus la valeur propre de a pour multiplicité alors la valeur propre de a la même multiplicité .

Partie B

Dans cette partie, nous voulons montrer que, même si n'est pas diagonalisable, lorsque est une valeur propre de de multiplicité , alors est une valeur propre de de même multiplicité .

Pour cela si est un polynôme de défini par :

,

nous noterons le polynôme de défini par :

.

  1. Montrer que si est un polynôme de de degré , pour tout élément non nul de :

  2. Montrer que pour tout élément non nul de :

    .

    En déduire la relation suivante :

    .

  3. a. Montrer que si et sont deux polynômes de :

    .

    b. En déduire que si est une valeur propre de de multiplicité , alors est une valeur propre de de même multiplicité .

Temps de résolution indicatif :17 mn
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