Définition et propriétés

Soit une matrice carrée d'ordre à coefficients dans un corps ou . Comme précédemment, on peut construire une application de dans de la façon suivante :

est la matrice unité d'ordre .

On montre, de la même manière, que est un morphisme d'anneau, que son noyau n'est pas réduit à . On le note . Les éléments non nuls de cet idéal sont appelés les polynômes annulateurs de . Cet idéal est engendré par un polynôme, unique si on lui impose d'être unitaire. C'est le polynôme minimal de . On a alors la proposition suivante :

Proposition : Polynôme minimal et matrices semblables

Soient et deux matrices semblables de . Alors :

Soient et deux matrices semblables : il existe donc une matrice inversible de telle que . Alors si , il vient immédiatement :

Il en résulte alors l'égalité , d'où le résultat.

Cette proposition permet d'établir un lien entre le polynôme minimal d'un endomorphisme et celui d'une matrice.

On a aussi, compte tenu des propriétés qui lient endomorphisme et matrice, la propriété :

est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension et la matrice de associée à par rapport à une base de .

Compte tenu de ces deux résultats, on a le théorème :

Théorème : Polynôme minimal, endomorphisme et matrice associée

Le polynôme minimal de , endomorphisme d'un espace vectoriel de type fini, est égal au polynôme minimal d'une matrice de dans n'importe quelle base de .

Le polynôme minimal d'une matrice de est égal au polynôme minimal de l'endomorphisme de dont la matrice par rapport à la base canonique de est égale à .

Ce résultat est très utile dans la pratique car il permet de choisir le point de vue, vectoriel ou matriciel, qui est le plus simple dans le contexte.

Légende :
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