Le polynôme minimal ne dépend pas du corps dans lequel on le calcule (preuve 1)

Partie

Question

  1. Soit \(n>1\) un entier, \(A\in M_n(\mathbf K)\) une matrice d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\), et \(P_{\textrm{min},A}(X)\in\mathbf K[X]\) son polynôme minimal. Montrer que si \(s\) est le plus grand entier tel que les matrices \(I_n,A,\cdots,A^s\) forment un système libre alors

    \(\textrm{deg }P_{\textrm{min},A}(X)=s+1\).

  2. Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de dimension finie \(m\) (\(\mathbf K=\mathbb R\) ou \(\mathbf K=\mathbb C\)), et \(v_1,\cdots,v_k\) des vecteurs de \(E\).

    a. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le rang du système \(\{v_1,\cdots,v_k\}\) traduisant que ce système est libre.

    b. Soit \(B\) une base de \(E\), et \(\left(\begin{array}{c}x_{1,1}\\\vdots\\x_{m,1}\end{array}\right),\cdots,\left(\begin{array}{c}x_{1,k}\\\vdots\\x_{m,k}\end{array}\right)\) les coordonnées des vecteurs \(v_1,\cdots,v_k\) dans la base \(B\). Comment peut-on déterminer le rang du système de vecteurs \(\{v_1,\cdots,v_k\}\) à l'aide des déterminants ?

  3. Soit \(n>1\) un entier et \(A\in M_n(\mathbb R)\) une matrice d'ordre \(n\) à coefficients réels. On note \(P_{\textrm{min},A}(X)\in\mathbb R[X]\) le polynôme minimal de la matrice \(A\) considérée comme matrice du \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb R)\), et \(Q_{\textrm{min},A}(X)\in\mathbb C[X]\) le polynôme minimal de la matrice \(A\) considérée comme matrice du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb C)\).

    a. En utilisant les questions précédentes montrer l'égalité :

    \(\textrm{deg }P_{\textrm{min},A}(X)=\textrm{deg }Q_{\textrm{min},A}(X)\).

    b. En déduire que les polynômes \(P_{\textrm{min},A}(X)\) et \(Q_{\textrm{min},A}(X)\) sont égaux.

Aide simple

Le rang d'une matrice peut être défini comme l'ordre du plus grand mineur non nul que l'on peut extraire de cette matrice.

Aide méthodologique

  1. On peut utiliser la définition du polynôme minimal.

  2. 2.a On peut relier le rang d'un système de vecteurs et la dimension de l'espace vectoriel qu'ils engendrent. 2.b Pour trouver le rang d'un système de vecteurs on peut utiliser la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs du système dans une base.

Aide à la lecture

Une matrice à coefficients réels de \(M_n(\mathbb R)\) peut être considérée comme une matrice de \(M_n(\mathbb C)\).

  • Lorsque la matrice est considérée comme élément du \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb R)\), son polynôme minimal est un élément de \(\mathbb R[X]\).

  • Lorsque la matrice est considérée comme élément du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb C)\), son polynôme minimal est un élément de \(\mathbb C[X]\).

Solution détaillée

  1. Le polynôme minimal de \(A\) est le polynôme unitaire annulateur de \(A\) de plus bas degré.

    Soit \(r\) le degré du polynôme minimal \(P_{\textrm{min},A}(X)\).

    D'une part, comme \(P_{\textrm{min},A}(A)=0\), les matrices \(I_n, A, \cdots,A^r\) forment un système lié. Par conséquent pour tout entier \(m\), \(m\ge r\), les matrices \(I_n,A,\cdots,A^m\) forment un système lié. Or les matrices \(I_n,A,\cdots,A^s\) forment un système libre donc :

    \(s<r\)

    D'autre part pour tout polynôme non nul \(P(X)\) de degré strictement inférieur à \(r\), \(P(A)\ne0\). Par conséquent pour tout entier \(m\) non nul, \(m<r\), les matrices \(I_n,A,\cdots,A^m\) forment un système libre, et par définition de \(s\) on obtient :

    \(r-1\le s\)

    Les inégalités précédentes donnent :

    \(r-1\le s<r\)

    Comme \(s\) et \(r\) sont des entiers on a : \(r-1=s\).

    Comme \(r\) désigne le degré du polynôme minimal de \(A\), on a montré :

    \(\textrm{deg }P_{\textrm{min},A}(X)=s+1\)

  2. a. Le rang d'un système de vecteurs est égal à la dimension du sous-espace vectoriel qu'ils engendrent. Le système \(\{v_1,\cdots,v_k\}\) est un système libre si et seulement si la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs \(v_1,\cdots,v_k\) est égal à \(k\). Par conséquent le système \(\{v_1,\cdots,v_k\}\) est un système libre si et seulement si son rang est \(k\).

    b. Le rang du système de vecteurs \(\{v_1,\cdots,v_k\}\) est aussi égal au rang de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}x_{1,1}&\cdots&x_{1,k}\\\vdots&\vdots&\vdots\\x_{m,1}&\cdots&x_{m,k}\end{array}\right)\) dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs \(v_1,\cdots,v_k\) dans une base de \(E\). Or le rang d'une matrice peut être défini comme l'ordre du plus grand mineur non nul que l'on peut extraire de cette matrice. Le calcul des déterminants extraits de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}x_{1,1}&\cdots&x_{1,k}\\\vdots&\vdots&\vdots\\x_{m,1}&\cdots&x_{m,k}\end{array}\right)\)

    donne donc le rang du système de vecteurs \(\{v_1,\cdots,v_k\}\).

  3. a. Soit \(s\ge1\) un entier. Le système \(\{I_n,A,\cdots,A^s\}\) est un système libre si et seulement si son rang est \(s+1\). Soit \(B\) la base canonique du \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb R)\), \(B\) est aussi la base canonique du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb C)\) et les matrices \(I_n,A,\cdots,A^s\) considérées comme matrices de \(M_n(\mathbb R)\) ou de \(M_n(\mathbb C)\) ont les mêmes coordonnées dans la base \(B\). D'après la question 2. on en déduit que le rang du système \(\{I_n,A,\cdots,A^s\}\) est le même lorqu'on le considère comme un système de \(M_n(\mathbb R)\) ou de \(M_n(\mathbb C)\). Par conséquent les matrices \(I_n,A,\cdots,A^s\) sont \(\mathbb R\)-linéairement indépendantes dans \(M_n(\mathbb R)\) si et seulement si elles sont \(\mathbb C\)-linéairement indépendantes dans \(M_n(\mathbb C)\). Ceci prouve que le polynôme minimal de la matrice \(A\) considérée comme matrice du \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb R)\) a le même degré que le polynôme minimal de la matrice \(A\) considérée comme matrice du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(M_n(\mathbb C)\) :

    \(\textrm{deg }P_{\textrm{min},A}(X)=\textrm{deg }Q_{\textrm{min},A}(X)\)

    b. Le polynôme \(Q_{\textrm{min},A}(X)\) est l'unique polynôme unitaire de \(\mathbb C[X]\) annulateur de \(A\) de plus bas degré. Comme tout polynôme de \(\mathbb R[X]\) est aussi un polynôme de \(\mathbb C[X]\), \(P_{\textrm{min},A}(X)\) est un polynôme unitaire de \(\mathbb C[X]\) annulateur de \(A\) de plus bas degré, donc les polynômes \(P_{\textrm{min},A}(X)\) et \(Q_{\textrm{min},A}(X)\) sont égaux.