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Introduction

L'objet de cette ressource est le théorème de Cayley-Hamilton. C'est un élément clé dans la théorie de la réduction des matrices.

Son principal intérêt est d'établir un lien entre les deux polynômes associés à une matrice ou à un endomorphisme dans la théorie de la réduction, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal. Ils ont été construits et étudiés indépendamment l'un de l'autre. Cette ressource permet de faire la synthèse.

  • Prérequis indispensables :

    • Les propriétés générales du polynôme caractéristique et du polynôme minimal d'un endomorphisme ou d'une matrice. La théorie générale de la diagonalisation.

  • Prérequis utiles :

    • Le calcul matriciel.

    • Les propriétés générales des polynômes.

    • La dernière partie nécessite le Lemme des noyaux, qui est énoncé.

  • Objectifs :

    • Etablir le lien entre polynôme caractéristique et polynôme minimal.

    • Donner des outils pour faciliter la recherche du polynôme minimal.

    • Donner une méthode effective pour calculer les puissances d'une matrice.

  • Temps de travail prévu : 90 minutes pour le cours, 30 minutes pour le QCI

    Il faut remarquer que seul intervient dans les utilisations le résultat du théorème de Cayley-Hamilton et non pas la façon dont il a été prouvé. C'est pourquoi les démonstrations, dont il est donné trois versions dans cette ressource, peuvent ne pas être étudiées dans une première lecture.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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