Partie A
Partie
Question
Soit la matrice \(B=\left(\begin{array}{ccc}2&2&1\\1&3&1\\1&2&2\end{array}\right)\) appartenant à \(M_3(\mathbb C)\).
La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ? Justifier la réponse.
Donner, s'il y a lieu, une base de vecteurs propres.
Aide simple
Chercher les valeurs propres et les sous-espaces propres associés.
Solution détaillée
On recherche tout d'abord les valeurs propres de \(B\) en calculant son polynôme caractéristique.
\(P_{car,B}(X)=\left|\begin{array}{cccccccc} &2-X &2&1 \\&1&3-X&1 \\ &1&2&2-X \end{array} \right|\)
En ajoutant les colonnes 2 et 3 à la première, puis en mettant \(5-X\) en facteur il vient :
\(P_{car,B}(X)=\left|\begin{array}{cccccccc} &5-X &2&1 \\&5-X&3-X&1 \\ &5-X&2&2-X \end{array} \right|=(5-X)\left|\begin{array}{cccccccc} &1 &2&1 \\&1&3-X&1 \\ &1&2&2-X \end{array} \right|\)
En retranchant la première ligne à chacune des autres, puis en développant on obtient :
\(P_{carB}(X)=(5-X)\left|\begin{array}{cccccccc} &1 &2&1 \\&0&1-X&0 \\ &0&0&1-X \end{array} \right|=(5-X)(1-X)^2\)
La matrice \(B\) possède donc une valeur propre simple 5 et une valeur propre double 1. Pour savoir si \(B\) est diagonalisable il suffit de connaître la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre double.
Recherche de V1, sous-espace propre associé à la valeur propre 1.
\(u=\left(\begin{array}{cccccccc} x\\y\\z\end{array}\right), u\in V_1 \Leftrightarrow(B-I_3)\left(\begin{array}{cccccccc} x\\y\\z\end{array}\right)=0\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccccccc} &1&2&1\\&1&2&1\\&1&2&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccc} x\\y\\z\end{array}\right)=0\)
donc \(u\in V_1\Leftrightarrow x+2y+z=0\Leftrightarrow z=-x-2y\)
enfin \(u\in V_1\Leftrightarrow u=\left(\begin{array}{cccccccc} x\\y\\-x-2y\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{cccccccc} 1\\0\\-1\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{cccccccc} 0\\1\\-2\end{array}\right)=xu_1+yu_2, \quad u_1=\left(\begin{array}{cccccccc} 1\\0\\-1\end{array}\right), \quad u_2=\left(\begin{array}{cccccccc} 0\\1\\-2\end{array}\right)\)
Par construction la famille u1, u2 est génératrice du sous-espace propre V1, il est immédiat qu'elle est libre donc elle détermine une base de V1 et \(\dim(V_1)=2\).
D'après le cours, la valeur propre 5 étant racine simple du polynôme caractéristique la dimension du sous-espace propre V5 est égale à 1.
Ainsi pour toute valeur propre de \(B\), la multiplicité géométrique (dimension du sous-espace propre associé) coïncide avec la multiplicité algébrique (ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique) donc la matrice \(B\) est diagonalisable.
Pour obtenir une base de vecteurs propres il ne reste plus qu'à trouver un vecteur propre associé à 5.
Recherche de V5, sous-espace propre associé à la valeur propre 5.
\(u=\left(\begin{array}{cccccccc} x\\y\\z\end{array}\right), u\in V_5 \Leftrightarrow(B-5I_3)\left(\begin{array}{cccccccc} x\\y\\z\end{array}\right)=0\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccccccc} &-3&2&1\\&1&-2&1\\&1&2&-3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccc} x\\y\\z\end{array}\right)=0\)
\(u\in V_5\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccccc} -3x+2y+z=0 \\ x-2y+z=0 \\ x+2y-3z=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccccc} x-2y+z=0 \\ -4y+4z=0 \\4y-4z=0\end{array}\Leftrightarrow x=y=z\right.\)
enfin \(u\in V_5\Leftrightarrow u=x\left(\begin{array}{cccccccc} 1\\1\\1\end{array}\right)=xu_3\).
Donc le sous-espace propre est la droite vectorielle engendrée par la matrice colonne \(u_3=\left(\begin{array}{cccccccc} 1\\1\\1\end{array}\right)\).
Conclusion : (u1,u2,u3) est une base de vecteurs propres de la matrice \(B\).
Rappel : \(u_1=\left(\begin{array}{cccccccc} 1\\1\\1\end{array}\right), u_2=\left(\begin{array}{cccccccc} 1\\1\\1\end{array}\right), u_3=\left(\begin{array}{cccccccc} 1\\1\\1\end{array}\right)\).