Partie B

Partie

Soit \(E=M_3(\mathbb C)\) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3, à coefficients complexes.

Question

Quelle est la dimension de \(E\)?

Solution détaillée

En cours d'algèbre linéaire, il a été établi que l'espace vectoriel des matrices complexes, à n lignes et m colonnes, a pour dimension nm donc \(\dim(\mathcal M_3(C))=3\times3\) et \(\dim(E)=9\).

Question

Soit \(A\) un élément de \(E\).

Montrer que l'ensemble des matrices \(M\) de \(E\) qui commutent avec \(A\) (c'est à dire telles que \(MA=AM\)) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Dans toute la suite on note \(E_A\) ce sous-espace vectoriel.

Solution détaillée

Par définition \(E_A={M\in E ; MA=AM}\).

Il est immédiat que la matrice nulle appartient à EA donc cet ensemble n'est pas vide.

Si \(M\) et \(M'\) sont deux éléments de EA alors \((M+M')A=MA+M'A=AM+AM'=A(M+M')\) donc \(M+M'\) est élément de EA.

On vérifie aussi simplement que si \(\lambda\) est un nombre complexe et M un élément de EA alors \(\lambda M\) est élément de EA.

La partie EA de l'espace vectoriel E, étant non vide, stable par addition et par multiplication par un scalaire, est un sous-espace vectoriel de E.

Question

Soit \(D\) une matrice diagonale appartenant à \(E\), \(D=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{array}\right)\).

Déterminer \(E_D\) dans les trois cas suivants :

  1. Les trois scalaires \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) sont distincts deux à deux.

  2. \(\lambda_1=\lambda_2\) et \(\lambda_1\ne\lambda_3\).

  3. \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3\).

On précisera dans chaque cas la dimension de \(E_D\).

Aide simple

Se donner une matrice \(M=\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &x_2&x_3 \\&y_1&y_2&y_3 \\ &z_1&z_2&z_3 \end{array} \right)\) et traduire l'égalité matricielle \(MD=DM\).

Solution détaillée

On cherche tout d'abord à caractériser les éléments de ED.

Soit \(M\) un élément de \(E\), \(M=\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &x_2&x_3 \\&y_1&y_2&y_3 \\ &z_1&z_2&z_3 \end{array} \right)\) alors \(M\in E_D\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &x_2&x_3 \\&y_1&y_2&y_3 \\ &z_1&z_2&z_3 \end{array} \right)\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1 &0&0 \\&0&\lambda_2&0 \\ &0&0&\lambda_3 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1 &0&0 \\&0&\lambda_2&0 \\ &0&0&\lambda_3 \end{array} \right)\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &x_2&x_3 \\&y_1&y_2&y_3 \\ &z_1&z_2&z_3 \end{array} \right)\)

donc \(M\in E_D\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1x_1 &\lambda_2x_2&\lambda_3x_3 \\&\lambda_1y_1&\lambda_2y_2&\lambda_3y_3 \\ &\lambda_1z_1&\lambda_2z_2&\lambda_3z_3 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1x_1 &\lambda_1x_2&\lambda_1x_3 \\&\lambda_2y_1&\lambda_2y_2&\lambda_2y_3 \\ &\lambda_3z_1&\lambda_3z_2&\lambda_3z_3 \end{array} \right)\)

Les termes diagonaux coïncidant toujours, il reste six relations.

\(M\in E_D\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccccc} \lambda_2x_2=\lambda_1x_2 \\\lambda_3x_3=\lambda_1x_3 \\\lambda_1y_1=\lambda_2y_1 \\\lambda_3y_3=\lambda_2y_3 \\ \lambda_1z_1=\lambda_3z_1 \\\lambda_2z_2=\lambda_3z_2\end{array}\right. \Leftrightarrow (S)\left\{\begin{array}{cccccccc} (\lambda_2-\lambda_1)x_2=0 \\(\lambda_3-\lambda_1)x_3=0 \\(\lambda_1-\lambda_2)y_1=0 \\(\lambda_3-\lambda_2)y_3=0 \\ (\lambda_1-\lambda_3)z_1=0 \\(\lambda_2-\lambda_3)z_2=0\end{array}\right.\)

On est ainsi amené à distinguer trois cas.

Les trois scalaires \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) sont distincts deux à deux.

Le système (S) a pour solution \(x_2=x_3=y_1=y_3=z_1=z_2=0\) d'où \(M\in E_D\Leftrightarrow M=\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &0&0 \\&0&y_2&0 \\ &0&0&z_3 \end{array} \right)\)

Dans ce cas ED est l'espace vectoriel des matrices diagonales complexes d'ordre 3 et \(\dim(E_D)=3\).

\(\lambda_1=\lambda_2\) et \(\lambda_1\neq\lambda_3\).

Le système (S) a pour solution \(x_3=y_3=z_1=z_2=0\) d'où \(M\in E_D\Leftrightarrow M=\left(\begin{array}{cccccccc} &x_1 &x_2&0 \\&y_1&y_2&0 \\ &0&0&z_3 \end{array} \right)\)

Dans ce cas ED est l'espace vectoriel des matrices complexes d'ordre 3 engendré par les cinq matrices

\(\left(\begin{array}{cccccccc} &1 &0&0 \\&0&0&0 \\ &0&0&0 \end{array} \right),\left(\begin{array}{cccccccc} &0 &1&0 \\&0&0&0 \\ &0&0&0\end{array} \right),\left(\begin{array}{cccccccc} &0 &0&0 \\&1&0&0 \\ &0&0&0 \end{array} \right),\left(\begin{array}{cccccccc} &0 &0&0 \\&0&1&0 \\ &0&0&0\end{array} \right),\left(\begin{array}{cccccccc} &0 &0&0 \\&0&0&0 \\ &0&0&1 \end{array} \right)\) et \(\dim(E_D)=5\).

\(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3\).

Le système (S) est toujours satisfait.

Toute matrice d'ordre 3 commute avec \(D\) qui est la matrice d'une homothétie.

Dans ce cas ED est égal à E et \(\dim(E_D)=9\).

Question

Soit \(A\) un élément de \(E\) diagonalisable. Soit \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) les valeurs propres de \(A\), \(D\) la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{array}\right)\) et \(P\) une matrice inversible de \(E\) telle que \(A=PDP^{-1}\).

  1. Montrer qu'une matrice \(M\) appartient à \(E_A\) si et seulement si \(P^{-1}MP\) appartient à \(E_D\).

  2. Montrer que \(E_A\) et \(E_D\) ont même dimension.

  3. En déduire la dimension de \(E_A\). On pourra discuter suivant les valeurs de \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\).

Aide simple

On pourra introduire l'application \(\Phi\) de E dans lui-même, définie par \(\Phi(M)=P^{-1}MP\).

Solution détaillée
  1. \(M\in E_A\Leftrightarrow MA=AM\Leftrightarrow M(PDP^{-1})=(PDP^{-1})M\Leftrightarrow P^{-1}M(PDP^{-1})=(DP^{-1})M\)

    \(M\in E_A\Leftrightarrow(P^{-1}MP)D=D(P^{-1}MP)\Leftrightarrow P^{-1}MP\in E_D\).

    Donc une matrice M appartient à EA si et seulement si \(P^{-1}MP\in E_D\) appartient à ED.

  2. Soit l'application de E dans lui-même, définie par \(\Phi(M)=P^{-1}MP\). Il est immédiat que c'est une application linéaire ; elle est injective car si \(M\) est dans le noyau de \(\Phi, P^{-1}MP=0\) donc \(M=0\) car \(P\) est inversible. D'où \(\Phi\) est bijective et c'est un isomorphisme de \(E\).

    D'après la question précédente \(\Phi(E_A)=E_D\). L'application \(\Phi\) étant un isomorphisme, elle conserve les dimensions des sous-espaces vectoriels.

    D'où \(\dim(E_A)=\dim(E_D)\).

  3. D'après la question 3, trois cas sont à envisager selon la multiplicité algébrique des valeurs propres de \(A\).

    La matrice A possède :

    • trois valeurs propres simples, \(\dim(E_A)=3\),

    • une valeur propre double et une valeur propre simple, \(\dim(E_A)=5\),

    • une valeur propre triple, \(\dim(E_A)=9\). Dans ce cas \(E_A=E\).

Question

Soit \(D\) une matrice diagonale appartenant à \(E\), \(D=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{array}\right)\), avec \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) distincts deux à deux.

La matrice \(I_3\) désignant la matrice unité d'ordre 3, montrer que les matrices \(I_3,D,D^2\) forment une famille libre de \(E\).

Aide simple

Rechercher les nombres complexes \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que \(\alpha I_3+\beta D+\gamma D^2=0\) en utilisant soit la théorie des polynômes soit un déterminant de Vandermonde.

Solution détaillée

Soit trois nombres complexes \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que \(\alpha I_3+\beta D+\gamma D^2=0\), alors

\(\alpha\left(\begin{array}{cccccccc} &1&0&0 \\&0&1&0 \\ &0&0&1 \end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1&0&0 \\&0&\lambda_2&0 \\ &0&0&\lambda_3 \end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1^2&0&0 \\&0&\lambda_2^2&0 \\ &0&0&\lambda_3^2 \end{array}\right)=0\)

donc \(\alpha+\beta\lambda_1+\gamma\lambda_1^2=0, \alpha+\beta\lambda_2+\gamma\lambda_2^2=0, \alpha+\beta\lambda_3+\gamma\lambda_3^2=0\).

Pour continuer deux méthodes sont proposées.

1ère méthode utilisant la théorie des polynômes

Soit le polynôme \(\alpha+\beta X+\gamma X^2\), s'il n'est pas nul, il est de degré au plus 2 d'où le nombre de ses racines est au plus 2 or il admet au moins trois racines distinctes \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\), c'est donc le polynôme nul.

Le polynôme étant le polynôme nul, \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

2ième méthode utilisant un déterminant de Vandermonde

Ainsi les nombres \(\alpha, \beta, \gamma\) cherchés sont solutions du système linéaire

\((S)\left(\begin{array}{cccccccc} \alpha+\lambda_1\beta+\lambda_1^2\beta=0 \\ \alpha+\lambda_2\beta+\lambda_2^2\beta=0 \\ \alpha+\lambda_3\beta+\lambda_3^2\beta=0 \end{array}\right.\),

dont le déterminant associé est \(\left |\begin{array}{cccccccc} &1&\lambda_1&\lambda_1^2 \\&1&\lambda_2&\lambda_2^2 \\&1&\lambda_3&\lambda_3^2 \end{array}\right|\).

C'est un déterminant de Vandermonde, il est non nul car les scalaires \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) sont deux à deux distincts.

Le système linéaire (S) a donc une solution unique qui est le triplet (0,0,0).

D'où \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

On vient de montrer :

\((\alpha, \beta, \gamma)\in\mathbb C^3 ,\alpha I_3+\beta D+\gamma D^2=0\Rightarrow\alpha=\beta=\gamma=0\).

Ceci exprime que les matrices I3, D, D2 forment une famille libre de \(E\).

Question

Soit \(A\) un élément de \(E\) ayant trois valeurs propres distinctes.

  1. La matrice \(I_3\) désignant la matrice unité d'ordre 3, montrer que les matrices \(I_3,A,A^2\) forment une famille libre de \(E\).

  2. Montrer que \(E_A=\{\alpha I_3+\beta A+\gamma A^2,(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb C^3\}\).

Solution détaillée

Il résulte du cours que la matrice \(A\) ayant trois valeurs propres distinctes, notées \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\), elle est diagonalisable et semblable à la matrice \(D=\left(\begin{array}{cccccccc} &\lambda_1&0&0 \\&0&\lambda_2&0 \\ &0&0&\lambda_3\end{array}\right)\), donc il existe une matrice inversible \(P\) telle que \(D=P^{-1}AP\).

Soit trois nombres complexes \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que \(\alpha I_3+\beta A+\gamma A^2=0\), alors \(P^{-1}(\alpha I_3+\beta A+\gamma A^2)P=0\), donc \(\alpha P^{-1}I_3P+\beta P^{-1}AP+\gamma P^{-1}A^2P=0\) et enfin \(\alpha I_3+\beta D+\gamma D^2=0\).

Remarque : en utilisant l'isomorphisme introduit au B.4.b. ce résultat est immédiat.

Or d'après la question précédente, les scalaires \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) étant distincts deux à deux, les matrices I3, D, D2 forment une famille libre de \(E\). D'où .

On vient de montrer :

\((\alpha, \beta, \gamma)\in\mathbb C^3 ,\alpha I_3+\beta A+\gamma A^2=0\Rightarrow\alpha=\beta=\gamma=0\).

Ceci exprime que les matrices I3, A, A2 forment une famille libre de \(E\).

Il est immédiat que les matrices I3, A, A2 commutent avec la matrice \(A\) donc appartiennent à EA. Ce sous-espace vectoriel de \(E\) est de dimension 3.

Les matrices I3, A, A2, étant trois vecteurs linéairement indépendants de EA, elles déterminent une base de EA.

Ainsi EA est l'ensemble des combinaisons linéaires des matrices I3, A, A2.

Autrement dit \(E_A=\{\alpha I_3+\beta A+\gamma A^2, (\alpha, \beta, \gamma)\in\mathbb C^3\}\).

Question

Exemples :

  1. Déterminer \(E_C\)\(C\) est la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&2&1\\0&0&3\end{array}\right)\).

  2. Déterminer la dimension de \(E_B\)\(B\) est la matrice \(\left(\begin{array}{ccc}2&2&1\\1&3&1\\1&2&2\end{array}\right)\).

Aide simple

Reconnaître la matrice B étudiée dans la question A.

Solution détaillée
  1. La matrice C est triangulaire donc ses valeurs propres sont les termes diagonaux 1, 2, 3. Donc C possède trois valeurs propres distinctes, en appliquant le résultat de la question précédente, on obtient \(E_C=\{\alpha I_3+\beta C+\gamma C^2, (\alpha, \beta, \gamma)\in\mathbb C^3\}\).

    Or \(C=\left(\begin{array}{cccccccc} &1&0&1\\&0&2&1\\&0&0&3 \end{array}\right)\) et \(C^2=\left(\begin{array}{cccccccc} &1&0&4\\&0&4&5\\&0&0&9 \end{array}\right)\).

    On en déduit \(E_C=\left\{\left(\begin{array}{cccccccc} &\alpha+\beta=\gamma&0&\beta+4\gamma \\&0&\alpha+2\beta+4\gamma&\beta+5\gamma \\&0&0&\alpha+3\beta+9\gamma \end{array} \right), ( \alpha, \beta, \gamma)\in\mathbb C^3\right\}\).

  2. La matrice \(B\) a été étudiée dans la partie A. Elle est diagonalisable, elle possède une valeur propre double et une valeur propre simple donc d'après la question B.4.c., la dimension de EB est égale à 5.Autrement dit \(\dim(E_B)=5\).