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Partie B

Enoncé global

Soit l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3, à coefficients complexes.

Question n°1

Quelle est la dimension de ?

Question n°2

Soit un élément de .

Montrer que l'ensemble des matrices de qui commutent avec (c'est à dire telles que ) est un sous-espace vectoriel de . Dans toute la suite on note ce sous-espace vectoriel.

Question n°3

Soit une matrice diagonale appartenant à , .

Déterminer dans les trois cas suivants :

  1. Les trois scalaires sont distincts deux à deux.

  2. et .

  3. .

On précisera dans chaque cas la dimension de .

Question n°4

Soit un élément de diagonalisable. Soit les valeurs propres de , la matrice et une matrice inversible de telle que .

  1. Montrer qu'une matrice appartient à si et seulement si appartient à .

  2. Montrer que et ont même dimension.

  3. En déduire la dimension de . On pourra discuter suivant les valeurs de .

Question n°5

Soit une matrice diagonale appartenant à , , avec distincts deux à deux.

La matrice désignant la matrice unité d'ordre 3, montrer que les matrices forment une famille libre de .

Question n°6

Soit un élément de ayant trois valeurs propres distinctes.

  1. La matrice désignant la matrice unité d'ordre 3, montrer que les matrices forment une famille libre de .

  2. Montrer que .

Question n°7

Exemples :

  1. Déterminer est la matrice .

  2. Déterminer la dimension de est la matrice .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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