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Partie B

Enoncé global

Soit un entier naturel non nul, un -espace vectoriel de dimension ( ou ), un endomorphisme de , son polynôme minimal et son polynôme caractéristique.

Le but de cette partie est d'établir la réciproque du résultat de la partie A.

Question n°1

Soit un élément non nul de et , où .

  1. Montrer que est un sous-espace stable par .

  2. Soit l'endomorphisme de défini par la restriction de à .

    Montrer que le polynôme minimal de , noté , divise le polynôme .

Question n°2

Soit un diviseur irréductible et unitaire de et la plus grande puissance de qui divise .

  1. Montrer que et .

  2. Soit tel que . On considère, comme dans la question 1, le sous-espace et l'endomorphisme de . Montrer que .

Question n°3

On note la décomposition en facteurs premiers de , où les nombres sont des entiers naturels non nuls et des polynômes irréductibles et unitaires. En appliquant la question 2, on considère pour chaque polynôme un élément non nul tel que , et on note .

  1. Vérifier que est non nul. Soit un polynôme tel que . Montrer que pour tout , . En déduire que le polynôme divise .

  2. Déduire de 3.a. et de 1.b. que .

  3. Montrer que est une base de .

Question n°4

Établir la réciproque du résultat de la partie (A).

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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