Exercice 1

Durée : 5 mn

Note maximale : 5

Question

Étudiez directement la série \(\sum w_n\) produit des deux séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) où \(\forall n\in N, u_n=\left(-\frac13\right)^n\) \(v_n=\left(\frac12 \right)^n\).

Calculez et précisez la somme de la série.

Solution

  • Les deux séries à multiplier sont absolument convergentes, on peut donc définir leur produit.

  • L'expression de \(w_n\) est la suivante

    \(\begin{array}{ccc}w_n&=&\displaystyle{\sum_{p=0}^n}u_pv_{n-p}=\displaystyle{\sum_{p=0}^n}\left(-\frac13\right)^p\left(\frac12\right)^{n-p}\\&=&\left(\frac12\right)^n\displaystyle{\sum_{p=0}^n}\left(-\frac23\right)^p\\&=&\left(\frac12\right)^n\frac{1-\left(-\frac23\right)^{n+1}}{1+\frac23}\\&=&\frac35.\left(\frac12\right)^n\left(1-\left(-\frac23\right)^{n+1}\right)\\&=&\frac35\left(\left(\frac12\right)^n+\frac23\left(-\frac13\right)^n\right)\end{array}\)

    On a donc \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}w_n=\frac35\left(\frac{1}{1-\frac12}+\frac23.\frac{1}{1+\frac13}\right)=\frac32\).

  • On vérifie bien \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}w_n=\left(\frac{1}{1+\frac13}\right)+\left(\frac{1}{1-\frac12}\right)=\frac32=\left(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n\right)\left(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}v_n\right)\)