Exercice 2

Durée : 5 mn

Note maximale : 4

Question

Étudiez la nature de la série de terme général

\(u_n=\frac{1!+2!+\ldots+(n-2)!}{n!}\)

Solution

  • On écrit le terme général sous la forme d'une somme de 2 termes .\(u_n=\frac{(n-2)!}{n!}+\frac{1!+2!+\ldots+(n-3)!}{n!}\).

  • On a d'une part : \(\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}\sim\frac{1}{n^2}\) et d'autre part : \(\frac{\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-3}}k!}{n!}\leq \frac{(n-3)(n-3)!}{n!}=\frac{n-3}{n(n-1)(n-2)}\sim\frac{1}{n^2}\).

  • La série est donc somme de deux séries convergentes, elle est donc convergente.

Remarque

  • L'idée est standard : on considère le terme le plus grand au numérateur et on fait l'hypothèse que c'est lui qui va impliquer la nature de la suite.

  • On est obligé de couper en deux car la majoration \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-2}}k!\leq (n-2)(n-2)!\) donne \(u_n\leq \frac{n-2}{n(n-1)}\sim\frac 1n\) et cela ne permet pas de conclure.