Développements en série entière : méthodes et développements classiques

On écrit, pour tout \(x\) différent de 1 : \(\frac{1}{1+x+x^2}=\frac{1-x}{1-x^3}\) et pour \(|x|<1\), \(\frac{1-x}{1-x^3}=(1-x)\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{3n}\). D'où le développement en série entière : \(\frac{1}{1+x+x^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{3n}-\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{3n+1}\).

Le rayon de convergence de la série entière est 1, tandis que la fonction est indéfiniment dérivable dans \(R\).