Développements en série entière : méthodes et développements classiques

On a : \(1+x-2x^2=(1-x)(1+2x)\). La fonction \(x\mapsto\ln{(1+x-2x^2)}\) est donc définie sur l'intervalle \(I=\left]-\frac12,1\right[\) et le rayon de convergence de la série entière est donc au plus \(\frac12\).

On écrit : \(\forall x\in I\), \(\ln{(1+x-2x^2)}=\ln{(1-x)}+\ln{(1+2x)}\). On en déduit, à partir du développement connu de la fonction \(x\mapsto\ln{(1+x)}\):

\(\forall x\in ]-1,1[\), \(\ln{(1-x)}=-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}\) et \(\forall x\in \left]-\frac12,\frac12\right[\), \(\ln{(1+2x)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{(2x)^n}{n}\).

Les deux séries entières ayant des rayons de convergence différents, le rayon de convergence de la somme est égal au plus petit des deux, soit 1/2.

On a donc finalement : \(\forall x\in \left]-\frac12,\frac12\right[\), \(\ln{(1+x-2x^2)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}2^n-1}{n}x^n\).