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Exercice 46

Enoncé global

Théorème : Théorème de Stone-Weierstrass (démonstration par les polynômes de Bernstein)

Le but de cet exercice est de montrer une des formes du théorème de Stone-Weierstrass :

toute fonction continue sur un intervalle [a, b] est limite uniforme sur [a, b] d'une suite de fonctions polynômes.

Soit f une fonction continue définie sur [0, 1], à valeurs dans (ou ).

Soit n , on considère le polynôme défini par :

est un polynôme de Bernstein.

Remarque

Nous notons ici le nombre de combinaisons de k éléments parmi n ; une autre notation couramment utilisée est  

On note la fonction constante 1 sur l'intervalle [0,1] et, pour i , la fonction définie sur l'intervalle [0,1] par .

Question n°1

Calculer

Question n°2
  1. Pour k 1, montrer que ;

  2. En déduire ;

  3. Calculer de même .

Question n°3

Déduire de 1. :

Question n°4

Soit > 0, t [0, 1] et  k (- N; 0 \< k \< n et ||-- t|| >= a n .

Montrer que

Question n°5

En déduire que ( ) converge uniformément vers f sur [0, 1].

Question n°6

Transposer les résultats précédents pour montrer que toute fonction f continue sur un segment [a, b] de , à valeurs dans ou est limite uniforme sur [a, b] d'une suite de fonctions polynômes.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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