Convergence uniforme
Définition
Définition : Convergence uniforme
La série \(\left( \sum{f_{n}}\right)\) converge uniformément sur \(I\) si la suite de fonctions (\(S_{n}\)) converge uniformément sur \(I\).
Toute série de fonctions qui converge uniformément sur \(I\) converge simplement sur \(I\).
Théorème : Convergence simple et convergence uniforme
Soit \(\left( \sum{f_{n}}\right)\) une série de fonctions qui converge simplement. Alors elle converge uniformément si et seulement si la suite des restes partiels (\(R_{n}\)) converge uniformément vers la fonction nulle.
Cela est évident car \(R_{n} = S - S_{n}\).
Dans le cadre des séries de fonctions, la convergence uniforme sera plus difficile à établir directement, car en général, nous ne disposerons pas d'une expression simple de \(R_{n}\).
Exemples
Nous allons reprendre les exemples de la convergence simple dans l'optique de la convergence uniforme :
Série géométrique
Série géométrique : \(\left( \sum{x^{n}} \right)\)
Dans le cas de la série géométrique, nous savons qu'elle converge simplement sur \(]-1, 1[\) et nous disposons d'une expression explicite du reste \(R_{n}\) : \(R_{n}(x) = \frac{x^{n+1}}{1 - x}\).
\(\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\textrm{lim}}~~R_{n}(x) = +\infty\), donc \(\underset{x \in ]-1,1[}{\textrm{sup}} \Big\{ \left| R_{n}(x)\right| \Big\} = +\infty\).
La série ne converge donc pas uniformément sur \(]-1, 1[\).
Développement en série de l'exponentielle
Développement en série de l'exponentielle : \(\left( \sum{\frac{x^{k}}{k!}} \right)\)
Dans ce cas, \(R_{n}(x) = \overset{+\infty}{\underset{k = n+1}{\sum}}~\frac{x^{k}}{k!}\).
Si \(x \in \mathbb{R}^{+}, R_{n}(x) \geq 0\) et comme \(R_{n}(x) \geq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\), on voit que :
\((\forall x_{D} \geq 0) \quad M_{n} = \underset{x \in \mathbb{R}}{\textrm{sup}} \Big\{ \left| R_{n}(x) \right| \Big\} \geq R_{n}(x_{D}) \geq \frac{x_{D}^{n+1}}{(n+1)!}\).
\(M_{n} \geq \underset{x \in \mathbb{R}^{+}}{\textrm{sup}} \Bigg\{ \frac{x_{D}^{n+1}}{(n+1)!} \Bigg\} = +\infty\), soit \(M_{n} = +\infty\) :
la série \(\left( \sum{\frac{x^{k}}{k!}} \right)\) n'est pas uniformément convergente sur \(\mathbb{R}\).
Étudions la convergence uniforme sur un intervalle fermé borné \([-A, A]\) avec \(A > 0\).
Si \(|x| \leq A,~|R_{n}(x)| \leq \overset{+\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}~\frac{A^{k}}{k!} = R_{n}(A)\) (inégalité triangulaire sur les sommes finies puis passage à la limite).
Comme la série \(\left( \sum{\frac{A^{k}}{k!}} \right)\) est convergente, le reste \(R_{n}(A)\) tend vers 0, d'où le résultat :
la série \(\left( \sum{\frac{x^{k}}{k!}}\right)\) converge uniformément sur tout intervalle \([-A, A] (A > 0)\).
Série 3
Série \(\left( \sum{\frac{\sin(nx)}{n^{2}}} \right)\):
\(\left( \sum{\frac{\sin{(nx)}}{n^{2}}} \right)\)
\(R_{n} = \overset{+\infty}{\underset{k = n+1}{\sum}}~\frac{\sin{(kx)}}{k^{2}}\)
En notant \(f_{k}(x) = \frac{\sin(kx)}{k^{2}} : \left| \overset{p}{\underset{k = n+1}{\sum}}~f_{k}(x)\right| \leq \overset{p}{\underset{k = n+1}{\sum}}~|f_{k}(x)|\).
La série étant absolument convergente, chacun des deux membres admet une limite quand \(n \rightarrow +\infty\) et on a :
\(\left| \overset{+\infty}{\underset{k = n+1}{\sum}}~f_{k}(x)\right| \leq \overset{+\infty}{\underset{k = n+1}{\sum}}~|f_{k}(x)| \leq \overset{+\infty}{\underset{k = n+1}{\sum}}~\frac{1}{k^{2}}\)
On en tire \(|R_{n}(x)| \leq \overset{+\infty}{\underset{k = n+1}{\sum}}~\frac{1}{k^{2}}\).
Cette inégalité est valable pour tout \(x\) et le majorant est indépendant de \(x\), donc \(M_{n} = \underset{x \in \mathbb{R}}{\textrm{sup}} \Big\{ |R_{n}(x)| \Big\} \leq \overset{+\infty}{\underset{k = n+1}{\sum}}~\frac{1}{k^{2}}\) et comme la série \(\left( \sum~\frac{1}{k^{2}} \right)\) est convergente, alors \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~~\overset{+\infty}{\underset{k = n+1}{\sum}}~\frac{1}{k^{2}} = 0\).
D'où, \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} M_{n} = 0\) et la série \(\left( \sum{\frac{\sin{(kx)}}{k^{2}}}\right)\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}\).
On peut remarquer que l'élément déterminant de cette étude est d'avoir pu trouver un majorant uniforme \(\frac{1}{n^{2}}\) du terme général \(f_{n}(x)\) tel que la série \(\left( \sum{\frac{1}{n^{2}}}\right)\) soit convergente.
Ce type de situation porte le nom de convergence normale, nous la détaillerons plus tard.
Série alternée
Série alternée : \(\left( \sum{\frac{(-1)^{n}}{x + n}} \right)\)
Reprenons l'exemple : \(\left( \sum{\frac{(-1)^{n}}{x + n}} \right), x \in \mathbb{R}^{+}\).
On dispose d'une majoration de \(R_{n}\) :
\(|R_{n}(x)| \leq \frac{1}{x + n + 1} \leq \frac{1}{n + 1}\) donc, \(M_{n} = \underset{x \in \mathbb{R}^{+}}{\textrm{sup}} \Big\{ |R_{n}(x)| \Big\} \leq \frac{1}{n + 1}\).
\(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} M_{n} = 0\), donc la série \(\left( \sum{\frac{(-1)^{n}}{x + n}}\right)\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}\).
Convergence uniforme de certaines séries alternées
Le résultat du dernier exemple se généralise :
Théorème : Convergence uniforme de certaines séries alternées
Soit \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) une série de fonctions définie sur \(I\) telle que, pour tout \(x \in I\), la série numérique \(\left( \sum{f_{n}(x)}\right)\) soit une série alternée dont le terme général décroît en valeur absolue vers 0.
Si la suite de fonctions (\(f_{n}\)) converge uniformément vers 0 sur \(I\), la série \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) converge uniformément sur \(I\).
Démonstration :
Pour tout x \in I, la série numérique \(\left( \sum{f_{n}(x)}\right)\) est une série alternée dont le terme général décroît en valeur absolue vers 0.
On peut donc appliquer la majoration du reste : \(|R_{n}(x)| \leq |f_{n+1}(x)| \leq \underset{x \in I}{\textrm{sup}} \Big\{|f_{n}(x)|\Big\} = \mu_{n}\).
La suite (\(f_{n}\)) converge uniformément vers 0, donc \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~\mu_{n}= 0\).\( \mu_{n}\)
est un majorant uniforme de \(R_{n}\) qui tend vers 0, donc la série \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) converge uniformément sur \(I\).
Nous abordons maintenant le critère de Cauchy qui est un outil théorique pour démontrer la convergence uniforme d'une série.
Critère de Cauchy uniforme
Définition : Série uniformément de Cauchy
On dit que la série \(\left( \sum{f_{n}}\right)\) est uniformément de Cauchy sur \(I\) lorsque la suite (\(S_{n}\)) des sommes partielles vérifie le critère de Cauchy uniforme pour les suites de fonctions, c'est-à-dire :
\((\forall \epsilon > 0) \quad (\exists n_{D} \in \mathbb{N}) \quad \left[ (n_{D} \leq p < q) \Rightarrow \left( \underset{x \in I}{\textrm{sup}}~\Big\{ \left| f_{p+1}(x) + ... + f_{q}(x) \right| \Big\} < \epsilon \right)~\right]\)
On peut indifféremment exprimer \(q > p\) sous la forme \(q = p + k, k \in N^{*}\).
Théorème : Critère de Cauchy uniforme
La série \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) converge uniformément sur \(I\) si et seulement si \(\left( \sum{f_{n}}\right)\) est uniformément de Cauchy sur \(I\).
C'est simplement la traduction du résultat d'équivalence entre le critère de Cauchy uniforme et la convergence uniforme pour les suites de fonctions.
Nous abordons ensuite la règle d'Abel qui permet de conclure à la convergence uniforme de certaines séries.
Règle d'Abel
Théorème : Transformée d'Abel
Soient (\(a_{n}\)) et (\(v_{n}\)) deux suites de fonctions sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\).
Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(p \in \mathbb{N}^{*}\), notons \(V_{n.p}(x) = v_{n}(x) + ... + v_{n + p}(x) :\)
\(\overset{n + p}{\underset{k=n}{\sum}}~a_{k}v_{k} = a_{n+p}V_{n+p} + \overset{p}{\underset{k = 1}{\sum}}~\left( a_{n+k-1} - a_{n+k}\right) V_{n.k -1}\).
Démonstration :
\(\begin{array}{r c l}\overset{n+p}{\underset{k=n}{\sum}} a_{k}v_{k} & = & a_{n}v_{n} + a_{n+1}v_{n+1} + ... + a_{n+p}v_{n+p} \\ & = & a_{n}V_{n,0} + a_{n+1}(V_{n, 1} - V_{n,0}) + ... + a_{n+p}(V_{n,p} - V_{n,p-1}) \\ & = & (a_{n} - a_{n+1}V_{n,0} + ... + (a_{n+p-1} - a_{n+p})V_{n,p-1} + a_{n+p}V_{n, p} \\ & = & a_{n+p}V_{n,p} + \overset{p}{\underset{k=1}{\sum}} (a_{n+k-1} - a_{n+k})V_{n,k-1} \\\end{array}\)
Théorème : Règle d'Abel uniforme
Soit (\(f_{n}\)) une suite de fonctions définies sur un intervalle \(I\).
On suppose que pour tout \(x \in I : f_{n}(x ) = a_{n}(x ).v_{n}(x)\) avec
(\(a_{n}\)) est une suite décroissante de fonctions positives sur \(I\) (c'est-à-dire : \(\forall x \in I \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad 0 \leq a_{n}(x) \leq a_{n+1}(x)\)) et qui converge uniformément vers 0;
(\(v_{n}\)) est une suite de fonctions vérifiant : \(\exists A > 0 \quad \forall n \geq 0 \quad \forall x \in I \quad \left| v_{0}(x) + ... + v_{n}(x) \right| < A\)
alors, la série \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) converge uniformément sur \(I\).
Démonstration :
On va montrer que \(\left( \sum{f_{n}}\right)\) vérifie le critère de Cauchy uniforme.
Soient \(x \in I;~n, p \in \mathbb{N}, p \neq 0\). Considérons l'expression \(|f_{n}(x) + ... + f_{n+p}(x)|\) :
\(|f_{n}(x) + ... + f_{n+p}(x)| = \left| \overset{n+p}{\underset{k=n}{\sum}} a_{k}(x)v_{k}(x) \right| = \left| a_{n+p}(x) V_{n, p}(x) + \overset{p-1}{\underset{k=1}{\sum}} \bigg( a_{n+k-1}(x) - a_{n+k}(x)\bigg) V_{n, k-1}(x) \right|\)
Majorons membre à membre dans l'égalité obtenue par la transformée d'Abel.
Soit \(k \in \{0,...,p\}\). Comme la suite (\(a_{n}\)) est décroissante et positive \(|a_{n+k}(x) - a_{n+k-1}(x)| = a_{n+k}(x)- a_{n+k-1}(x)\), et d'après la deuxième hypothèse \(|V_{n,k}(x)| < A\).
On en déduit que : \(\left| f_{n}(x) + ... + f_{n+p}(x) \right| \leq a_{n+p}(x) . A + \overset{p - 1}{\underset{k = 1}{\sum}} \bigg( a_{n+k-1}(x) - a_{n+k}(x)\bigg) . A = A.a_{n}(x)\)
Fixons \(\epsilon > 0\). La suite (\(a_{n}\)) converge uniformément vers 0 donc \(\exists n_{D} \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_{D}, \forall x \in I, |a_{n}(x)| < \frac{\epsilon}{A}\).
On en déduit que\( \forall n \geq n_{D}\), \(\forall p \in \mathbb{N}, \forall x \in In \left| f_{n}(x) + ... + f_{n+p}(x) \right| < \epsilon\), ce qui prouve que \(\left( \sum{} f_{n}\right)\) vérifie le critère de Cauchy uniforme, donc converge uniformément sur \(I\).
Remarque :
Ce résultat est utile pour obtenir la convergence uniforme lorsqu'il n'y a pas la convergence normale. Il est particulièrement utile pour des séries à valeurs complexes.
Exemple :
Exemple pour \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{e^{i~nx}}{n} \right)\)
\(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{e^{i~nx}}{n} \right)\) ne converge pas normalement sur aucun intervalle de \(\mathbb{R}\), ni absolument car \(|f_{n}| = \frac{1}{n}\) et \(\left( \sum{\frac{1}{n}}\right)\) ne converge pas.
\(\begin{array}{r c l}\left| e^{i~nx} + ... + e^{i~(n+p)x} \right| & = & \left| e^{i~nx}\right| . \left| \frac{1 - e^{i~(p+1)x}}{1 - e^{i~x}} \right| \\ \\ & = & 1 . \left| \frac{e^{i~\frac{p+1}{2} x}}{e^{i~\frac{1}{2}x}} . \frac{-2 i \sin{\left( \frac{p+1}{2} x\right)}}{-2i \sin{\left( \frac{1}{2}x \right)}} \right| \\ \\ & \leq & \left| \frac{1}{\sin{\left( \frac{x}{2} \right)}} \right|\end{array}\)
Sur \([\delta, 2\pi - \delta]~~(0 < \delta < \pi)\) : \(\left| e^{i~nx} + ... + e^{i(n + p)x}\right| \leq \left| \frac{1}{\sin{\left( \frac{\delta}{2} \right)}} \right| = A\)
De plus, il est clair que la suite définie par \(a_{n}(x) = \frac{1}{n}\) est décroissante positive et converge uniformément vers 0. La règle d'Abel nous permet d'affirmer que \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{e^{i~nx}}{n} \right)\) converge uniformément sur \(\left[\delta, 2\pi - \delta\right]\).