Exemple de Weierstrass

.

La convergence est normale sur , donc uniforme sur et, comme les fonctions sont continues sur , alors est continue sur . Mais n'est dérivable en aucun point de .

Démonstration

La série de fonctions converge uniformément sur (facile, convergence normale).

Posons . f est continue sur (convergence uniforme d'une série de fonctions continues sur ).

Montrons que n'est dérivable nulle part.

Soit ,

pour , posons et .

Si était dérivable en , on aurait et , donc les ensembles et seraient bornés.

Si l'on prouve que , on aurait alors une contradiction, et ne serait donc pas dérivable en .

Nous allons donc essayer de montrer que .

Or, pour , , donc ; on en déduit :

Or, pour tout et réels ; on en déduit :

De plus, .

Or, pour tout de de ,  ; ceci se démontre en écrivant :

Donc :

Il vient alors :

Procédons de la même manière pour  :

Or, pour , , donc ; on en déduit :

Or, pour tout et réels ; on en déduit : 

Ainsi,

De plus,

Or, pour tout et de , .

Donc :

Il vient alors :

Donc,

Etudions et . et sont périodiques de période .

On les étudie donc sur .

Sur , .

Sur ,  ;

Sur , .

Donc :

  • Sur :

    Or, , donc :

    est

  • Sur  : .

    Donc : est

    On en déduit que : =

    Etudions donc la fonction définie sur par :

    est continue sur , dérivable sur et on a :

  • Sur et , donc .

  • Sur  : , donc .

  • Sur  :

    • Sur  :

      donc .

    • Sur  :

      donc .

On en déduit le tableau de variations de :

Ceci montre que . On en déduit, en posant  : .

Or, on a vu que ;

Il vient alors :

Comme , on en déduit que .

On a donc bien montré que ; ce qui prouve, comme on l'avait remarqué au début, que n'est pas dérivable en ; ceci étant vrai pour tout de , n'est donc dérivable nulle part.

Ainsi, est continue sur et dérivable nulle part.

Légende :
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