Exercice 10
Partie
Question
Étudier la convergence normale de la série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) définies par : \(f_{n}(x) = \frac{1}{n ( |x-n| + 1)}\)
Aide simple
La série converge simplement sur \(\mathbb{R}\) (voir exercice 1).
Étudier la série numérique \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} m_{n} \right)\) où \(m_{n} = \underset{\mathbb{R}}{\textrm{sup}} |f_{n}(x)|\)
Solution détaillée
Pour \(n\) fixé, la fonction \(f_{n}\) est croissante sur \(]-\infty, n]\) , décroissante sur \([n,+\infty[\).
En effet,
sur \(]-\infty, n]\) , \(f_{n}(x ) = \frac{1}{n^{2} + n - nx}\) et la fonction affine \(x \longmapsto n^{2} + n - nx\) est décroissante ;
sur \([n , +\infty[\), \(f_{n}(x) = \frac{1}{nx + n - n^{2}}\) et la fonction affine \(x \mapsto -nx + n + n^{2}\) est décroissante.
m_{n} = \frac{1}{n}, donc la série numérique \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} m_{n} \right)\) n'est pas convergente.
D'après la définition de la convergence normale du cours :
"Soit \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) une série de fonctions définies sur \(I\) et \(m_{n} = \underset{I}{\textrm{sup}} \Big( |f_{n}(x)| \Big)\) (\(m_{n} \in \mathbb{R}_{+}\) ou \(m_{n} = +\infty\)).
On dit que la série de fonctions \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) est normalement convergente sur \(I\) lorsque la série numérique \(\Big( \sum m_{n} \Big)\) est convergente."
On en conclut donc : la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{1}{n \left( |x - n| + 1\right) } \right)\) ne converge pas normalement sur \(\mathbb{R}\).