Exercice 11
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme et la convergence normale de la série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) définies par : \(f_{n}(x) = \frac{\cos{(nx)}}{n^{2}}\)
Aide simple
La série converge simplement sur \(\mathbb{R}\) (voir exercice 2).
Etudier la série numérique \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} m_{n} \right)\) où \(m_{n} = \underset{\mathbb{R}}{\textrm{sup}} |f_{n}(x)|\)
Solution détaillée
\(\underset{\mathbb{R}}{\textrm{sup}} |f_{n} (x)| = \underset{\mathbb{R}}{\textrm{sup}} \left| \frac{\cos{(nx)}}{n^{2}} \right| = \frac{1}{n^{2}}\)
La série numérique \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} m_{n} \right)\) est convergente.
D'après la définition de la convergence normale du cours :
"Soit \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) une série de fonctions définies sur \(I\) et \(m_{n} = \underset{I}{\textrm{sup}} \Big( |f_{n}(x)| \Big)\) (\(m_{n} \in \mathbb{R}_{+}\) ou \(m_{n} = +\infty\)).
On dit que la série de fonctions \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) est normalement convergente sur \(I\) lorsque la série numérique \(\Big( \sum m_{n} \Big)\) est convergente."
On en conclut donc : La série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{\cos{(nx)}}{n^{2}} \right)\) converge normalement donc uniformément sur \(\mathbb{R}\).