Exercice 19
Partie
Question
Étudier la convergence uniforme et la convergence normale sur \([0,+\infty[\) de la série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) définies par : \(f_{n}(x) = \frac{x}{[(n-1)x + 1](nx +1)}\).
Aide simple
Utiliser la continuité de la somme de cette série de fonctions pour conclure sur \([0,+\infty[\).
Montrer la convergence uniforme sur certains intervalles de \([0,+\infty[\).
Solution détaillée
En remarquant que \(x = (nx + 1) - [(n - 1)x + 1]\) : \(f_{n}(x) = \frac{1}{[(n-1)x + 1]} - \frac{1}{nx + 1}\).
Les sommes partielles \(S_{n}(x) = \overset{n}{\underset{k = 1}{\sum}} f_{k}(x) = 1 - \frac{1}{nx + 1}\) convergent vers 1 quand \(n\) tend vers \(+\infty\) pour \(x\) non nul fixé dans \([0, +\infty[\).
(voir exercice 7).
La série converge sur \([0,+\infty[\) vers une fonction \(S\) discontinue en 0 : \(S (x) = 1\) si \(x \neq 0\) et \(S(0) = 0\).
Donc la série ne converge pas uniformément sur \([0,+\infty[\), puisque les fonctions \(f_{n}\) sont continues sur \([0,+\infty[\) mais pas leur somme \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\).
Il faut donc étudier la convergence uniforme sur des intervalles de \([0,+\infty[\) ne contenant pas 0.
Sur \([a, +\infty[\), \(a > 0\) :
La série converge uniformément sur \([a,+\infty[\) si et seulement si la suite des restes \(R_{n}(x) = S (x)- S_{n}(x)\) converge uniformément vers \(\overset{\sim}{0}\) sur \([a,+\infty[\) pour \(a > 0\).
\(\underset{[a, +\infty[}{\textrm{sup}} |S_{n}(x) - S(x)| = \underset{[a, +\infty[}{\textrm{sup}} \left| \left( 1 - \frac{1}{nx + 1} \right) - 1\right| = \underset{[a, +\infty[}{\textrm{sup}}~\frac{1}{nx + 1} = \frac{1}{na + 1}\),
D'où \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} M_{n} = 0\).
Ainsi, la série de fonctions \(\left( \sum \frac{x}{[(n - 1)x+1][nx + 1]} \right)\) ne converge pas uniformément sur \([0,+\infty[\) vers la fonction \(S\) mais elle converge uniformément sur tout intervalle \([a,+\infty[\) avec \(a > 0\).