Exercice 21

Partie

Question

Montrer, en déterminant sa somme \(S\), que la convergence de la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{1}{n} x^{n} (1-x^{n}) \right)\) n'est pas uniforme sur \([0, 1]\).

Aide simple

On déterminera d'abord la somme de la série dérivée sur \([0, a]\), \(a < 1\), puis on utilisera le théorème de la primitivation de la somme d'une série pour calculer \(S(x)\) pour \(x \in [0,1]\).

On étudiera ensuite la continuité de \(S\) sur \([0, 1]\).

Solution détaillée

Nous avons vu dans l'exercice 9 que cette série de fonctions est convergente sur \(]- 1, 1]\) donc a fortiori sur \([0, 1]\).

Déterminons la somme de la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f'_{n}(x) \right)\).

\(f'_{n}(x) = x^{n-1} - 2x^{2n-1} = u_{n}(x) - 2v_{n}(x)\), avec \(u_{n}(x) = x^{n-1}\) et \(v_{n}(x) = x^{2n-1}\).

Les séries \(\underset{n \geq 1}{\sum} u_{n}(x)\) et \(\underset{n \geq 1}{\sum} v_{n}(x) = x + x^{3} + x^{5} + ...\) sont des séries géométriques convergentes sur \([0, 1[\), et de somme respective : \(U(x) = \frac{1}{1-x}\) et \(V(x) = \frac{x}{1-x^{2}}\).

D'où \(\underset{n \geq 1}{\sum} f'_{n}(x) = \frac{1}{1-x} - 2 \frac{x}{1 - x^{2}} = \frac{1}{1+x} = s(x)\).

Si on peut utiliser le théorème de primitivation de la somme d'une séries de fonctions, nous pourrons calculer la somme de la série initiale.

Vérifions les hypothèses de ce théorème sur la série dérivée \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f'_{n}(x) \right)\); on posera \(f'_{n}(x) = w_{n}(x)\).

  1. Les fonctions \(w_{n}\) sont des fonctions polynômes donc continues sur tout segment \([0, a] \subset [0, 1[\);

  2. La série de fonctions \(\underset{n \geq 1}{\sum} w_{n}(x)\) est normalement convergente, donc uniformément convergente sur tout segment \([0, a] \subset [0, 1[\).

    En effet, \(|w_{n}(x)| = |x^{n-1}| . |a-2x^{n}|\) ;

    Or, puisque \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} x^{n} = 0 (x < 1)\), il existe \(n_{0} \in \mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n \geq n_{0}\), \(0 < 1 - 2x^{n} < 1\).

    Donc, pour \(n \geq n_{0}\), \(|w_{n}(x)| < |x^{n-1}| \leq a^{n-1}\).

    Il existe une série numérique à termes positifs convergente \(\sum a_{n}\) (série géométrique de raison plus petite que 1) qui majore \(|w_{n}(x)|\) à partir d'un certain rang.

    On peut donc conclure à la convergence normale annoncée.

En conclusion, les hypothèses du théorème de primitivation étant réunies, on déduit : \(\forall x \in [0, a], a < 1, \overset{x}{\underset{0}{\int}} \left( \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}} w_{n}(t)\right)~\textrm{dt}~ = \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}} \left( \overset{x}{\underset{0}{\int}} w_{n}(t)~\textrm{dt}~\right) = \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}} f_{n}(x)\) ;

soit encore \(\forall x \in [0, a], a < 1, \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}} f_{n}(x) = \overset{x}{\underset{0}{\int}} \frac{\textrm{dt}}{1 + \textrm{t}} = \ln{(1 + x)}\).

On vient ici de montrer que la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{1}{n} x^{n} ( 1 - x^{n}) \right)\) converge sur \([0,1[\) vers la fonction \(x \longmapsto \ln{(x + 1)}\).

On a prouvé dans l'exercice 9 qu'elle convergeait simplement en 1 et que \(\underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}(1) = 0\).

La convergence de cette série de fonctions ne peut donc être uniforme sur \([0, 1]\) puisque \(\underset{x \rightarrow 1}{\textrm{lim}}~(\ln{(1 + x)}) \neq 0\).

La série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{1}{n} x^{n} ( 1 - x^{n}) \right)\) ne converge pas uniformément sur \([0,1]\).