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Introduction

Un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants est un système de la forme

Si désigne le vecteur , le vecteur dérivé s'écrit , et le système s'écrit , où est la matrice

Espace des solutions :

Rappelons que l'ensemble des applications dérivables de dans est un espace vectoriel sur , de dimension infinie.

Si est une matrice réelle carrée , les solutions de l'équation sont des applications dérivables de dans , et forment donc une partie de . On va voir que cette partie est en fait un sous-espace de  :

Théorème :

Soit A une matrice réelle carrée . L'ensemble des solutions de l'équation est un espace vectoriel de dimension .

Cela veut dire notamment que, si et sont des solutions, toute combinaison linéaire est aussi une solution.

Théorème :

L'ensemble des solutions de l'équation , où est une matrice réelle carrée , est un espace vectoriel réel de dimension .

Démonstration :

1) Montrons que est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions dérivables de dans  :

Il faut montrer que et que, si et sont dans et λ et μ dans , alors,

  • La fonction identiquement nulle est solution de

  • Si deux fonctions et sont dans , on a , pour tout , et .

    La linéarité de la dérivation et le fait que l'application U est linéaire entraine que, pour tous réels λ et μ, on a bien et donc

2) Montrons que  :

Il suffit de trouver éléments linéairement indépendants dans .

L'équation vérifie évidemment les conditions de Cauchy-Lipschitz.

Soit donc la base canonique de , et notons l'unique solution vérifiant . Montrons que les fonctions sont linéairement indépendantes.

Supposons donc qu'on ait une relation

Pour , cela donnerait

soit encore

Puisque les vecteurs sont indépendants, on en déduit que

3) Montrons que  :

Il suffit de montrer que solutions de sont toujours liées.

Soient donc des solutions.

Les vecteurs de sont liés, donc vérifient une relation de dépendance

où les ne sont pas tous nuls.

La fonction est une solution, et vérifie la même condition initiale que la fonction identiquement nulle, à savoir . En vertu de l'unicité, est la fonction nulle, et on a donc

On voit que solutions sont toujours liées, donc . On a donc finalement démontré que .

On a donc finalement démontré que .

Exemple :

Etudions le système

En posant et il s'écrit .

On constate que les fonctions et sont des solutions non proportionnelles.

L'espace des solutions étant de dimension 2, et forment donc une base.

Toutes les solutions s'écrivent donc comme combinaisons linéaires de et , c'est à dire

Ceci peut encore s'écrire

Dans les pages suivantes, nous apprendrons à trouver une base de l'espace des solutions d'un système .

La méthode de résolution dépendra de la forme de la matrice et de ses propriétés.

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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Simuler
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