Mouvement du pendule : 2- Animation
On a vu que les mouvements du pendule peuvent être représentés comme les solutions du système
\(\displaystyle{(2)\left\{\begin{array}{ll}\theta'=\omega \\ \omega'=-\sin\theta-p\omega\end{array}\right.}\)
où \(\theta(t)\) est l'angle par rapport à la verticale, et \(\omega(t)\) la vitesse angulaire du pendule à l'instant \(t\).
Pour mieux faire comprendre à quels mouvements correspond chaque trajectoire de ce système, la figure ci-dessous affiche simultanément une animation des mouvements de ce pendule, et la trajectoire correspondantre dans le portrait de phase.
Des boutons permettent de régler la position et la vitesse initiales , et de faire varier le coefficient de frottement (auquel on peut même donner des valeurs négatives).
Les boutons "Zoom" permettent d'adapter l'échelle à chaque situation.
L'animation démarre quand on appuie sur "départ" et, sur la partie droite de la figure, la trajectoire dans le plan de phases se trace simultanément.
En observant l'animation ci-dessus dans un grand nombre de situations, c'est-à-dire en donnant à la position initiale, la vitesse initiale et au frottement des valeurs diverses, et en adaptant l'échelle à chaque cas, on peut se persuader des faits suivants :
Si le coefficient de frottement est positif :
S'il n'est pas trop grand (entre 0 et 2), le pendule se rapprochera d'une position d'équilibre (éventuellement après avoir fait un ou plusieurs tours) en oscillant autour de cette position. Sur le portrait de phase, cela correspond à des trajectoires qui spiralent autour d'un foyer attractif.
Si le frottement est important (\(p > 2\)) , le pendule se rapproche d'une position d'équilibre stable sans osciller. Sur le portrait de phase, cela correspond à des solutions qui tendent vers un noeud attractif.
Si le coefficient de frottement est nul :
Pour une position initiale donnée, si la vitesse initiale n'est pas trop grande (par exemple si elle est nulle), le pendule oscille périodiquement autour d'une position d'équilibre. Sur le portrait de phase, cela correspond à des trajectoires fermées qui entourent le point stationnaire : ce point est un centre.
Si la vitesse initiale est assez grande, le pendule tourne indéfiniment dans le même sens, autour du point fixe de la tige (mais pas à vitesse constante). Sur le portrait de phase, cela correspond à des trajectoires ondulantes (en haut de la figure si le pendule tourne dans le sens direct, en bas de la figure sinon).
Remarquons que dans ce cas le mouvement du pendule est périodique, alors que la solution correspondante dans le plan des phases ne l'est pas.
Si le coefficient de frottement est négatif (cas "fictif") :
Dans ce cas le pendule s'éloigne de sa position d'équilibre, avec ou sans oscillations au départ suivant la valeur absolue du coefficient de frottement. Le pendule finit toujours , au bout d'un certain temps, par tourner indéfiniment autour du point fixe de la tige, et sa vitesse angulaire tend vers l'infini avec le temps (ça aussi, c'est fictif !). Sur le portrait de phases, cela correspond à la présence de foyers ou de noeuds répulsifs.