Franges bichromatiques

Calcul de l'éclairement en un point M de l'écran.

pour \(\lambda_1 : I_1 = 2 I_{10} (1 + \cos \frac{2 \pi \delta}{\lambda_1})\)

pour \(\lambda_2 : I_2 = 2 I_{20} (1 + \cos \frac{2 \pi \delta}{\lambda_2})\)

L'éclairement total vaut en supposant \(I_{10} = I_{20} :\)

\(\begin{array}{rcl} I&=&I_1+I_2\\\\&=&\displaystyle{2I_0 \left(2 + \cos 2\pi \frac{\delta}{\lambda_1} + \cos 2 \pi \frac{\delta}{\lambda_2}\right)\lambda_2} \\\\&=& \displaystyle{4 I_0 \left(1 + \cos \pi \delta \left(\frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}\right) \cos \pi \delta \left(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\right) \right)}\end{array}\)

Si les deux longueurs d'onde sont très voisines, le terme en \(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\) est très petit par rapport au terme en \(\frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}\) , \(\cos \pi \delta (\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2})\) varie beaucoup plus lentement que le terme \(\cos \pi \delta (\frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2})\) en fonction de \(\delta\).

Les franges se brouillent alors progressivement à partir de la frange centrale brillante pour laquelle la visibilité est maximale puisque le terme \(\cos \pi \delta (\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2})\) reste voisin de 1 lorsque \(\delta\) est voisin de zéro.

On a alors: \(I \cong 4 I_0 (l + \cos \pi \delta(\frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}))\)

Nous retrouverons un système de franges contrastées identiques à celles qui existent au voisinage de la frange centrale lorsque \(\cos \pi \delta (\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2})\) est voisin de 1.

Démonstration

Posons \(\delta = \frac{S_1S_2}{D}.x\) . Pour \(x = 0\) alors \(d = 0\) et les franges brillantes des deux systèmes coïncident. La première coïncidence des franges brillantes à partir de la frange centrale pour les deux radiations\(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) s'obtient quand:

\(\delta_1 = \frac{S_1S_2}{D}.x_1 = k_1 \lambda_1 = x_2 = k_1 \lambda_2\) où  \(k_1\) et \(k_2\) sont des entiers.

Si \(\lambda_1 > \lambda_2\) alors  \(k_2 = k_1+1\) d'où :

\(k_1 \lambda_1 = (k_1 + 1) \lambda_2\)

\(k_1 \lambda_1 = (k_1 - 1) \lambda_2\)

\(k_1 = \frac{\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\)

\(x_1 = D \frac{k_1 \lambda_1}{S_1S_2} = \frac{\lambda_2 \lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} . \frac{D}{S_1S_2}\)

Posons : \(\lambda_2 . \lambda_1 = \lambda_{moyen}^2 = \lambda_{m}^2\)

alors \(x_1 =\frac{\lambda_{m}^2}{\Delta \lambda} . \frac{D}{S_1S_2}\)

Définition

La Nième coïncidence des franges brillantes à partir de la frange centrale s'obtient de la même manière pour:

\(\frac{S_1S_2}{D} . x_N = k_1 \lambda_1 = (k_1 + N) \lambda_2\)

\(x_N = \frac{D}{S_1S_2}.N. \frac{ \lambda_m^2}{\Delta \lambda} = N . x_1\)

\(x_1\) est la période spatiale des coïncidences mesurées sur l'écran d'observation.

Les caractéristiques du système d'interférence et la connaissance de \(\lambda\) moyen permet de mesurer \(Dl\) avec une bonne précision.

De la même manière, le système de franges est totalement brouillé quand le maximum d'intensité d'une radiation correspond au minimum d'intensité de l'autre radiation. Le premier brouillage s'obtient quand:

\(\delta = \frac{S_1S_2}{D} . x'_1 = k_1 \lambda_1 = (k_1 + \frac{1}{2})\lambda_2\)

\(k_1 = \frac{\lambda_2}{\Delta\lambda}\frac{1}{2}\)

le terme\(\cos \pi \delta( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2})\) est alors nul,

et \(I = 4I_0\) au voisinage de  \(x'_1 = \frac{\lambda_{m}^2}{\Delta \lambda} . \frac{1}{2} . \frac{D}{S_1S_2}\)

C'est l'anti-coïncidence.

La Nième anti-coïncidence est donnée de la même manière par:

\(\delta = \frac{S_1S_2}{D} . X'_N = k_1 \lambda_1 = (k_1 + N + \frac{1}{2}) \lambda_2\)

\(k_1 = \frac{\lambda_2}{\Delta\lambda}(N + \frac{1}{2})\)

\(x'_n = \frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}. \frac{D}{S_1 S_2} = x'_1 + N . x_1\)

Nous retrouvons bien sûr la même période spatiale pour l'anticoïncidence sur l'écran d'observation.

Complément

Les franges d'interférences obtenues à partir de deux radiations monochromatiques sont visualisées dans l'animation suivante:

Franges bichromatiques