Force de Lorentz [Le champ magnétostatique]

Force de Lorentz

Le champ électromagnétique \(\displaystyle{[\vec E(M,t) , \vec B(M,t)]}\) est accessible à l'expérience par l'intermédiaire de la force de Lorentz^[1] qui donne en \(\mathsf{M}\) la force subie par une charge \(\mathsf q\) animée d'une vitesse \(\vec v(M,t)\) par rapport à \(\mathfrak{R}\).

\(\displaystyle{\vec F(M,t) = q~[\vec E(M,t) + \vec v(M,t) \wedge \vec B(M,t)]}\)

La force de Lorentz présente deux caractéristiques :

Le champ magnétique ne transfère pas d'énergie aux charges auxquelles il s'applique ; en effet, dans \(\mathfrak{R}\), la puissance \(\mathfrak{P}\) de la force \(\vec F\) qui s'exerce sur \(q\) a pour expression :
\(\displaystyle{\mathfrak{P} = \vec F . \vec v = q [\vec E + \vec v \wedge \vec B] . \vec v}\)
Dans cette relation le produit mixte^[2] est nul et il devient :
\(\mathfrak{P}= \vec F . \vec v = q \vec E . \vec v\)

Le champ magnétique est défini par la relation \(\vec F_m = q~\vec v \wedge \vec B\) qui fait intervenir un produit vectoriel^[3]. Ainsi \(\vec B\) dépend donc d'une convention d'orientation de l'espace : c'est un pseudo-vecteur^[4].

Notes

LORENTZ (Hendrik Antoon) 1853 - 1928
Prix Nobel de Physique avec Zeeman en 1902. Professeur de physique mathématique à l'université de Leyde. Créateur de la théorie des électrons, son nom est attaché à l'étude et à l'interprétation des phénomènes électromagnétiques dans les milieux matériels. Avec sa relation de Lorentz, il approcha la théorie de la relativité.
Produit mixte
Étant donné trois vecteurs \(\vec V_1\), \(\vec V_2\) et \(\vec V_3\), leur produit mixte est un scalaire \(\mathsf{p}\) tel que \(p = (\vec V_1 \wedge \vec V_2).\vec V_3\). Ce produit est invariant si on effectue une permutation circulaire sur les trois vecteurs. Ainsi : \(p = (\vec V_1 \wedge \vec V_2).\vec V_3 = (\vec V_3 \wedge \vec V_1).\vec V_2 = (\vec V_2 \wedge \vec V_3) . \vec V_1\)
\(\mathsf{P}\) représente le volume du parallélépipède construit sur \(\vec V_1\), \(\vec V_2\) et \(\vec V_3\). En effet, en posant\( \vec P = (\vec V_1 \wedge \vec V_2)\), on a :
\(p = (\vec V_1 \wedge \vec V_2).\vec V_3 = \vec P .\vec V_3 = \parallel \vec P\parallel \parallel\vec V_3\parallel \cos \alpha = \parallel\vec P \parallel . h\)
Appliquée au champ magnétique la permutation donne :
\((\vec v \wedge \vec B) . \vec v = ( \vec v \wedge \vec v).\vec B = \vec0\) car \(\parallel \vec v \wedge \vec v\parallel = v^2 \sin(\vec v,\vec v) = v^2\sin(0) = 0\)
Produit vectoriel (définition géométrique)
- Dans une base orthonormée directe \(\mathfrak{B} = (\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\), le produit vectoriel de deux vecteurs \(\vec V_1\) et \(\vec V_2\) faisant entre eux un angle \(\theta \in [0, \pi]\) est un vecteur \(\stackrel{\hookrightarrow}{p}\) noté \(\stackrel{\hookrightarrow}{P}= \vec V_1 \wedge \vec V_2\),
  sa direction est perpendiculaire au plan défini par \(\vec V_1\) et \(\vec V_2\),
  son sens est tel que le trièdre \(\vec V_1\), \(\vec V_2\), \(\stackrel{\hookrightarrow}{P}\) soit direct (règle du tire bouchon de Maxwell),
  sa norme \(\mathrm{||} P \mathrm{||}\) est telle que \(\mathrm{||} P \mathrm{||} = \mathrm{||}\vec V_1\mathrm{||}~~\mathrm{||}\vec V_2\mathrm{||}~\sin \theta\).
\(\mathrm{||}\vec V_1 \wedge \vec V_2\mathrm{||}\) représente l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs \(\vec V_1\) et \(\vec V_2\)
En effet : \(\mathrm{||}\vec V_1 \wedge \vec V_2\mathrm{||} = \mathrm{||}\vec V_1\mathrm{||}. (\mathrm{||}\vec V_2\mathrm{||} ~\sin ~ \theta) = \mathrm{||}\vec V_1\mathrm{||} . h\)
- Détermination de \(\stackrel{\hookrightarrow}{P}\)
  Considérons le produit vectoriel \(\stackrel{\hookrightarrow}{P}= \vec V \wedge \vec V'\).
  Dans \(\mathfrak{B}\), les composantes de \(\stackrel{\hookrightarrow}{P}\)s'expriment en fonction de celles de \(\vec V\) et \(\vec V'\) en utilisant la disposition pratique suivante :
Pseudo-vecteur
On dit aussi vecteur axial. Il est défini par :
- une direction qui est généralement un axe de rotation,
- un sens sur cet axe, lié à la convention adoptée pour l'orientation de l'espace,
- sa norme.
On le distingue des vecteurs polaires par une flèche courbe : \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}\)