Le champ magnétostatique

En procédant comme pour la loi de Coulomb et en considérant la force \(\vec F_{1\leftarrow2}\) que le circuit \(\mathfrak{D}_2\) exerce sur le circuit \(\mathfrak{D}_1\), on dit que le circuit \(\mathfrak{D}_2\) crée en \(P_1\) un champ magnétostatique :

\(\displaystyle{\stackrel{\hookrightarrow}{B}_2(P_1) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathfrak{D}_2}I_2\overrightarrow{\mathrm{d}l}(P_2) \wedge\frac{\overrightarrow{P_2P_1}}{P_2P^3_1}}\)

Cette expression constitue la loi de Biot et Savart.

Une distribution de courant continu \(\mathfrak{D}\) crée donc en tout point \(\mathsf{M}\) de l'espace, un champ magnétostatique :

\(\displaystyle{\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathfrak{D}}\overrightarrow{\mathrm{d}C}(P) \wedge \frac{\overrightarrow{PM}}{PM^3}}\)

Cette expression fait intervenir un produit vectoriel^[1], \(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M)\) dépend donc de l'orientation de l'espace : c'est un pseudo-vecteur^[2].

Dans cette expression, \(\overrightarrow{\mathrm{d}C}(P)\) est l'élément de courant défini au point \(\mathsf{P}\) de \(\mathfrak{D}\) par :

\(\overrightarrow{\mathrm{d}C}(P) = I \overrightarrow{\mathrm{d}l}(P)\) pour un courant linéique^[3],

\(\overrightarrow{\mathrm{d}C}(P) = \vec J_\mathcal{S}(P)\mathrm{d}\mathfrak{S}_\mathcal{S}\) pour un courant surfacique^[4],

\(\overrightarrow{\mathrm{d}C}(P) = \vec J(P)\mathrm{d}\mathcal{V}\) pour un courant volumique^[5].

Pour une charge ponctuelle \(q\) qui se déplace à la vitesse \(\vec v(P)\) non relativiste on a :

\(\stackrel{\hookrightarrow}{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} q \vec v (P) \wedge \frac{\overrightarrow {PM}}{PM^3}\)