Calcul de B à partir de A : cas du conducteur cylindrique

Partie

Question

On considère un conducteur cylindrique de rayon \(a\) parcouru par un courant d'intensité constante \(I\) et dont la longueur peut être considérée comme infinie. Son axe coïncide avec celui \(Oz\) du repère cylindrique \(\mathcal{R} = (O ; \vec{e_{\rho}}, \vec{e_{\varphi}}, \vec{e_z} )\).

On connaît le potentiel vecteur \(\vec A\) en un point \(M\) quelconque de l'espace défini par sa distance \(\rho\) à l'axe \(Oz\) :

\(\displaystyle{ \vec A (M) = - \frac{\mu_0 I}{4 \pi a^2} \rho^2 . \vec{e_z} }\) si \(\rho < a\),

\(\displaystyle{ \vec A (M) = - \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left[ \frac{1}{2} + \ln \left( \frac{\rho}{a} \right) \right] . \vec{e_z} }\) si \(\rho > a\)

En déduire le champ magnétostatique \(\vec B(M)\) en tout point de l'espace.

Aide simple

Puisque \(\vec B = \vec{\mathrm{rot}} \vec A\), il faut expliciter le rotationnel dans les deux cas considérés : \(\rho < a\) et \(\rho > a\).

On peut se reporter à la boîte à outils mathématiques pour en trouver l'expression.

Rappel de cours

Le produit scalaire :

\(\vec A.\vec B=\left(\begin{array}{c} A_1\\A_2\\A_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} . \left(\begin{array}{c} B_1\\B_2\\B_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} =A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3\)

Le produit vectoriel :

\(\vec A\wedge\vec B=\left(\begin{array}{c} A_1\\A_2\\A_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} \wedge\left(\begin{array}{c} B_1\\B_2\\B_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} =\left(\begin{array}{c} A_2B_3-A_3B_2\\A_3B_1-A_1B_3\\A_1B_2-A_2B_1\end{array} \right)_{\mathcal{B}}\)

Les opérateurs vectoriels :

  • Système de repérage cartésien \(\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}(\vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z})\)

gradient : \(\vec{\mathrm{grad}}U\)

divergence : \(\mathrm{div}\vec A\)

rotationnel : \(\vec{\mathrm{rot}}\vec A\)

\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial x} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial y} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z} } \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} }\)

\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} }\end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}}\)

  • Système de repérage cylindrique \(\mathcal B_{\mathrm{cyl.}}(\vec{e_r},\vec{e_{\theta}},\vec{e_z})\)

gradient : \(\vec{\mathrm{grad}}U\)

divergence : \(\mathrm{div}\vec A\)

rotationnel : \(\vec{\mathrm{rot}}\vec A\)

\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial r} } \\ \displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta} }\\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z} } \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cyl.}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial (r . A_r) }{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z} }\)

\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_ \theta}{\partial z} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r} } \\ \displaystyle{ \frac{1}{r} \left( \frac{\partial (r. A_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)} \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cyl.}}}\)

Nom de l'outil

Comment s'énonce-t-il ?

Quand l'utiliser ?

Théorème

d'Ampère

\(\displaystyle{ \oint_{\mathcal C}\vec B.\vec{\mathrm{d}l}=\mu_0\sum I }\)

Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie du problème permet un calcul simple de la circulation de \(\vec B\).

Loi de

Biot et Savart

\(\displaystyle{ \vec B(M)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\frac{\vec{PM}}{PM^3} }\)

Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie de la distribution ne permet pas une application simple du théorème d'Ampère.

Relation champ magnétostatique/

potentiel vecteur

\(\vec{B}(M)=\vec{\mathrm{rot}}\vec A(M)\)

Pour calculer \(\vec B\) si \(\vec A\) est connu.

Définition de la

force de Laplace

\(\vec{F_m}=\displaystyle{ \int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\vec B_{\mathrm{ext}}(P) }\)

Pour calculer la force qui s'exerce sur une distribution \(\mathcal D\) soumise à un champ magnétostatique extérieur \(\vec B_{\mathrm{ext}}\)

Théorème de

Maxwell

\(W_{2\leftarrow1}=I . \Phi_c\)

Pour calculer directement le torseur des forces qui agissent sur un circuit.

Définition du

potentiel vecteur

\(\displaystyle{ \vec A(M)=\int_{\mathcal D}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{\mathrm{d}\mathcal C}(P)}{PM} }\)

Pour calculer \(\vec A\) si la distribution a un haut degré de symétrie.

Solution détaillée

On sait que \(\vec B = \vec{\mathrm{rot}} \vec A\), il faut alors expliciter le rotationnel dans les deux cas considérés, sachant que :

\(\displaystyle{ \vec{\mathrm{rot}} \vec u = \left( \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial u_ \varphi}{\partial z} \right) \vec{e_{\rho}} + \left( \frac{\partial u_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial \rho} \right) \vec{e_{\varphi}} + \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial (\rho . u_{\varphi})}{\partial \rho}-\frac{\partial u_\rho}{\partial \varphi} \right) \vec{e_z}}\)

  • Pour \(\rho < a\), on a :

    \(\vec A \mathrm{ } \left| \begin{array}{l} A_{\rho} = 0 \\ A_{\varphi} = 0 \\ \displaystyle{A_z(\rho) = - \frac{\mu_0 I}{4 \pi a^2} \rho^2 } \end{array}\right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{ \frac{\partial A_{\rho}}{\partial z} = \frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi} = 0 } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z} = \frac{\partial (\rho . A_{\varphi})}{\partial \rho} = 0} \\ \displaystyle{\frac{ \partial A_z}{\partial \varphi} = 0 } \end{array}\right.\)

    et le seul terme non nul vaut :

    \(\displaystyle{ \frac{\partial A_z}{\partial \rho} = \frac{\partial}{\partial \rho} \left( - \frac{\mu_0 I}{4 \pi a^2} \rho^2 \right) = - \frac{\mu_0 I}{2 \pi a^2} \rho }\)

    On obtient finalement pour ce cas :

    \(\displaystyle{ \vec B = \vec{\mathrm{rot}} \vec A = - \frac{\partial A_z}{\partial \rho} \vec{e_{\varphi}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a^2} \rho . \vec{e_{\varphi}} }\)

  • Pour \(\rho > a\), on a :

    \(\vec A \mathrm{ } \left| \begin{array}{l} A_{\rho} = 0 \\ A_{\varphi} = 0 \\ \displaystyle{A_z(\rho) = - \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left[ \frac{1}{2} + \ln \left( \frac{\rho}{a} \right) \right] } \end{array}\right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{ \frac{\partial A_{\rho}}{\partial z} = \frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi} = 0 } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z} = \frac{\partial (\rho . A_{\varphi})}{\partial \rho} = 0} \\ \displaystyle{\frac{ \partial A_z}{\partial \varphi} = 0 } \end{array}\right.\)

    et le seul terme non nul vaut :

    \(\begin{array}{lll} \displaystyle{ \frac{\partial A_z}{\partial \rho} } & = & \displaystyle{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ - \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left[ \frac{1}{2} + \ln \left( \frac{\rho}{a} \right) \right] \right] } \\ & = & \displaystyle{ - \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \frac{1}{2} + \ln \left( \frac{\rho}{a} \right) \right] } \\ & = & \displaystyle{ - \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{\rho / a} } \\ & = & \displaystyle{ - \frac{\mu_0 I}{2 \pi \rho} } \end{array}\)

    On obtient finalement pour ce cas :

    \(\displaystyle{ \vec B = \vec{\mathrm{rot}} \vec A = - \frac{\partial A_z}{\partial \rho} \vec{e_{\varphi}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi \rho} \vec{e_{\varphi}} }\)