Calcul de B sur l'axe d'une spire
Partie
Question
On considère une spire circulaire de rayon \(a\) parcourue par un courant d'intensité \(I\) constante.
Calculer le champ magnétostatique en un point \(M\) de son axe \(Oz\) repéré par \(z = \overline{OM}\) où \(O\) est le centre de la spire.
Aide simple
Faire l'analyse préliminaire du problème :
étudier les symétries,
étudier les invariances.
En déduire s'il est judicieux d'appliquer le théorème d'Ampère ; sinon appliquer la loi de Biot et Savart.
Rappel de cours
Le produit scalaire :
\(\vec A.\vec B=\left(\begin{array}{c} A_1\\A_2\\A_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} . \left(\begin{array}{c} B_1\\B_2\\B_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} =A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3\)
Le produit vectoriel :
\(\vec A\wedge\vec B=\left(\begin{array}{c} A_1\\A_2\\A_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} \wedge\left(\begin{array}{c} B_1\\B_2\\B_3\end{array} \right)_{\mathcal{B}} =\left(\begin{array}{c} A_2B_3-A_3B_2\\A_3B_1-A_1B_3\\A_1B_2-A_2B_1\end{array} \right)_{\mathcal{B}}\)
Les opérateurs vectoriels :
Système de repérage cartésien \(\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}(\vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z})\)
gradient : \(\vec{\mathrm{grad}}U\) | divergence : \(\mathrm{div}\vec A\) | rotationnel : \(\vec{\mathrm{rot}}\vec A\) |
\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial x} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial y} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z} } \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}}\) | \(\displaystyle{ \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} }\) | \(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} }\end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cart.}}}\) |
Système de repérage cylindrique \(\mathcal B_{\mathrm{cyl.}}(\vec{e_r},\vec{e_{\theta}},\vec{e_z})\)
gradient : \(\vec{\mathrm{grad}}U\) | divergence : \(\mathrm{div}\vec A\) | rotationnel : \(\vec{\mathrm{rot}}\vec A\) |
\(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial r} } \\ \displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta} }\\ \displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z} } \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cyl.}}}\) | \(\displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial (r . A_r) }{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z} }\) | \(\left(\begin{array}{c} \displaystyle{ \frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_ \theta}{\partial z} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r} } \\ \displaystyle{ \frac{1}{r} \left( \frac{\partial (r. A_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right)} \end{array} \right)_{\mathcal{B}_{\mathrm{cyl.}}}\) |
Nom de l'outil | Comment s'énonce-t-il ? | Quand l'utiliser ? |
Théorème d'Ampère | \(\displaystyle{ \oint_{\mathcal C}\vec B.\vec{\mathrm{d}l}=\mu_0\sum I }\) | Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie du problème permet un calcul simple de la circulation de \(\vec B\). |
Loi de Biot et Savart | \(\displaystyle{ \vec B(M)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\frac{\vec{PM}}{PM^3} }\) | Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie de la distribution ne permet pas une application simple du théorème d'Ampère. |
Relation champ magnétostatique/ potentiel vecteur | \(\vec{B}(M)=\vec{\mathrm{rot}}\vec A(M)\) | Pour calculer \(\vec B\) si \(\vec A\) est connu. |
Définition de la force de Laplace | \(\vec{F_m}=\displaystyle{ \int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\vec B_{\mathrm{ext}}(P) }\) | Pour calculer la force qui s'exerce sur une distribution \(\mathcal D\) soumise à un champ magnétostatique extérieur \(\vec B_{\mathrm{ext}}\) |
Théorème de Maxwell | \(W_{2\leftarrow1}=I . \Phi_c\) | Pour calculer directement le torseur des forces qui agissent sur un circuit. |
Définition du potentiel vecteur | \(\displaystyle{ \vec A(M)=\int_{\mathcal D}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{\mathrm{d}\mathcal C}(P)}{PM} }\) | Pour calculer \(\vec A\) si la distribution a un haut degré de symétrie. |
Solution simple
Analyse préliminaire
Exploitation des symétries :
Considérons un plan qui contient l'axe de la spire, on peut alors le représenter comme suit :
On constate que ce plan est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant.
Le pseudo-vecteur \(\vec B(M)\) (ou vecteur axial) est contenu dans le plan d'antisymétrie de la distribution de courant.
Pour tous les points \(M\) de ce plan, le champ magnétostatique \(\vec B(M)\) est ainsi contenu dans le plan lui-même ; c'est en particulier vrai pour les points de l'axe.
Comme ce raisonnement est valable pour tous les plans qui contiennent l'axe de la spire, le champ \(\vec B(M)\) pour les points \(M\) appartenant à l'axe est contenu dans l'intersection de tous ces plans, c'est-à-dire sur l'axe lui-même.
Ainsi, on peut conclure de l'étude des symétries du problème que, pour les points \(M\) de l'axe de la spire, le champ magnétostatique \(\vec B(M)\) est porté par l'axe.
Exploitation des invariances :
Dans ce système, nous n'avons pas à considérer les déplacements qui affectent \(\rho\) et \(\phi\) puisque les points d'observation sont nécessairement sur l'axe dans le cadre de l'énoncé : \(\rho = 0\).
Le point d'observation étant sur l'axe, il est simplement repéré par la coordonnée \(z\). Le champ \(\vec B\) créé par la distribution \(\mathcal{D}\) en un point \(M\) de son axe dépend de \(z\) puisque le système \(\textrm{distribution de courant - point d'observation}\) \((\mathcal{D}, M)\) est modifié lors d'une translation de \(\mathcal{D}\) le long de l'axe \(Oz\).
Donc on peut écrire : \(\vec B(M) = \vec B(z)\) .
En conclusion de l'étude préliminaire, nous pouvons dire que le champ magnétostatique en un point de l'axe est porté par ce dernier et ne dépend que de \(z\), il peut donc s'exprimer sous la forme suivante : \(\vec B(M) = B(z) . \vec{e_z}\) .
Calcul de B à partir de la loi de Biot et Savart
En explicitant les calculs dans une base orthonormale directe :
On peut décomposer les vecteurs dans un système de repérage cylindrique lié au point \(P\) : \(\mathcal{R} = ( O ; \vec{e_{\rho}} , \vec{e_{\phi}} , \vec{e_z} )\)
Nous pouvons expliciter les points et vecteurs dans \(\mathcal{R}\) :
\(I . \vec{ \mathrm{d} l}(P) \mathrm{ } \left( \begin{array}{c} 0 \\ I . \mathrm{d} l \\ 0 \end{array} \right)_{\mathcal{R}} \quad\) \(P \mathrm{ } \left( \begin{array}{c} a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)_{\mathcal{R}} \mathrm{ }\) et \(\mathrm{ } M \mathrm{ } \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array} \right)_{\mathcal{R}} \quad\) d'où \(\vec{PM} \mathrm{ } \left( \begin{array}{c} -a \\ 0 \\ z \end{array} \right)_{\mathcal{R}} \mathrm{ }\) et \(PM = \sqrt{a^2 + z^2}\)
\(\Rightarrow I \vec{\mathrm{d} l} (P) \wedge \vec{PM} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ I . \mathrm{d} l \\ 0 \end{array} \right)_{\mathcal{R}} \wedge \left( \begin{array}{c} -a \\ 0 \\ z \end{array} \right)_{\mathcal{R}} = \left( \begin{array}{c} z . I . \mathrm{d} l \\ 0 \\ a . I . \mathrm{d} l \end{array} \right)_{\mathcal{R}}\)
soit \(\displaystyle{ \vec{\mathrm{d} B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} \left( \begin{array}{c} z . I . \mathrm{d} l \\ 0 \\ a . I . \mathrm{d} l \end{array} \right)_{\mathcal{R}} }\)
L'étude des symétries a montré que le champ magnétostatique sur l'axe de la spire est porté par l'axe \(Oz\) seulement ; on peut ainsi écrire \(\displaystyle{\vec B(M) = \int_{\mathcal{D} } \mathrm{d} B_z . \vec{e_z}}\) qui devient d'après l'expression précédente :
\(\displaystyle{ \mathrm{d} B_z = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{a . I . \mathrm{d} l }{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} }\)
\(\begin{array}{llll} \Rightarrow & \vec B(M) & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{a . I }{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} \int_0^{2 \pi a} \mathrm{d} l . \vec{e_z} } \\ & & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{a . I }{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} } 2 \pi a . \vec{e_z} \\ & & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0 I}{2}\frac{a^2}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} \vec{e_z} } \end{array}\)
En introduisant l'angle \(\theta\), et en remarquant que \(\frac{a}{PM}=\frac{a}{\sqrt{a^2 + z^2}}=\sin\alpha=\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\) ,
on a : \(\displaystyle{ \vec B(M) = \frac{\mu_0 I}{2 a} \sin^3 \theta . \vec{e_z} }\)
En exploitant les propriétés géométriques :
Un élément de courant \(I \vec{\mathrm{d} l}(P)\) crée en \(M\) un champ magnétostatique élémentaire :
\(\displaystyle{ \vec{\mathrm{d} B} (M) = \frac{\mu_0}{4 \pi} I \vec{\mathrm{d} l}(P) \wedge \frac{\vec{PM}}{PM^3} }\)
Il a pour norme \(\displaystyle{ \mathrm{d} B (M) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \mathrm{d} l(P)}{PM^2} }\) puisque les deux vecteurs \(I \vec{\mathrm{d} l}(P)\) et \(\vec{PM}\) sont orthogonaux par construction.
L'étude des symétries a montré que le champ magnétostatique sur l'axe de la spire est porté par l'axe \(Oz\) seulement, on peut ainsi écrire \(\displaystyle{ \vec B(M) = \int_{\mathcal{D}} \mathrm{d} B_z . \vec{e_z} }\).
En introduisant l'angle \(\theta\), et en remarquant que \(\vec{\mathrm{d} B}(M)\) est orthogonal à \(\vec{PM}\) (\(\vec{\mathrm{d} B}\) proportionnel à \(\vec{\mathrm{d} l} \wedge \vec{PM}\)), on peut expliciter :
\(\begin{array}{lll} \mathrm{d} B_z & = & \displaystyle{ \mathrm{d} B . \cos \left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) } \\ & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \mathrm{d} l(P)}{PM^2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) } \\ & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \mathrm{d} l(P)}{PM^2} \sin \theta} \end{array}\)
\(\begin{array}{llll} \Rightarrow & \vec B(M) & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \sin \theta}{PM^2} \int_0^{2 \pi a} \mathrm{d} l . \vec{e_z} } \\ & & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \sin \theta}{PM^2} 2 \pi a . \vec{e_z} } \end{array}\) puisque \(\theta\) est constant quand \(P\) décrit la spire.
Comme \(\displaystyle{ \frac{a}{PM} = \sin \alpha = \sin (\pi - \theta) = \sin \theta}\), on a \(\displaystyle{ \vec B(M) = \frac{\mu_0 I}{2 a} \sin^3 \theta . \vec{e_z} }\)
Cette dernière expression est la plus concise mais elle présente l'inconvénient de ne pas faire apparaître \(z\) explicitement.
On peut remarquer que :
\(\sin\theta=\sin(\pi-\theta)=\sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2 + z^2}}\) , soit \(\displaystyle{ \sin^3 \theta = \frac{a^3}{\left( a^2 + z^2 \right)^{3/2}} }\)
d'où \(\displaystyle{ \vec B(M) = \frac{\mu_0 I}{2} \frac{a^2}{\left( a^2 + z^2 \right)^{3/2}} \vec{e_z} }\)
Solution détaillée
Explication : Stratégie de résolution
Avant d'entamer la résolution de cet exercice, nous donnons quelques indications sur le choix d'un système de repérage dans lequel :
nous faisons l'analyse préliminaire (symétries et invariances),
nous concluons sur l'utilisation du théorème d'Ampère,
nous mettons en œuvre la loi de Biot et Savart
- en décomposant les vecteurs \(I . \vec{\mathrm{d} l}(P)\) et \(\vec{PM}\) dans une base orthonormale directe,
- ou en faisant un calcul direct si on a noté leur orthogonalité.
Complément : Choix du repère
La distribution de courant, notée \(\mathcal{D}\), demeure inchangée par toute rotation autour de l'axe \(Oz\) de la spire. Cette propriété conduit à utiliser un système de repérage cylindrique classique dont les coordonnées sont notées \(\rho\), \(\phi\) et \(z\).
Analyse préliminaire
Exploitation des symétries :
Considérons un plan qui contient l'axe de la spire, on peut alors le représenter comme suit :
On constate que ce plan est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant.
Le pseudo-vecteur \(\vec B(M)\) (ou vecteur axial) est contenu dans le plan d'antisymétrie de la distribution de courant.
Pour tous les points \(M\) de ce plan, le champ magnétostatique \(\vec B(M)\) est ainsi contenu dans le plan lui-même ; c'est en particulier vrai pour les points de l'axe.
Comme ce raisonnement est valable pour tous les plans qui contiennent l'axe de la spire, le champ \(\vec B(M)\) pour les points \(M\) appartenant à l'axe est contenu dans l'intersection de tous ces plans, c'est-à-dire sur l'axe lui-même.
Ainsi, on peut conclure de l'étude des symétries du problème que, pour les points \(M\) de l'axe de la spire, le champ magnétostatique \(\vec B(M)\) est porté par l'axe.
Exploitation des invariances :
Dans ce système, nous n'avons pas à considérer les déplacements qui affectent \(\rho\) et \(\phi\) puisque les points d'observation sont nécessairement sur l'axe dans le cadre de l'énoncé : \(\rho = 0\).
Le point d'observation étant sur l'axe, il est simplement repéré par la coordonnée \(z\). Le champ \(\vec B\) créé par la distribution \(\mathcal{D}\) en un point \(M\) de son axe dépend de \(z\) puisque le système \(\textrm{distribution de courant - point d'observation}\) \((\mathcal{D}, M)\) est modifié lors d'une translation de \(\mathcal{D}\) le long de l'axe \(Oz\).
Donc on peut écrire : \(\vec B(M) = \vec B(z)\) .
En conclusion de l'étude préliminaire, nous pouvons dire que le champ magnétostatique en un point de l'axe est porté par ce dernier et ne dépend que de \(z\), il peut donc s'exprimer sous la forme suivante : \(\vec B(M) = B(z) . \vec{e_z}\) .
Complément : Peut-on utiliser le théorème d'Ampère pour le calcul de B ?
Le théorème d'Ampère conduit à calculer la circulation du champ sur un contour fermé. Les conditions qui amènent un calcul simple sont alors les suivantes :
norme de \(\vec B\) constante sur le contour,
direction de \(\vec B\) particulière par rapport au contour (normale ou tangentielle).
On cherche alors le contour qui satisfait au mieux ces conditions. Dans le notre cas, nous sommes assujettis au calcul du champ sur l'axe le long duquel \(\vec B\) est effectivement tangentiel mais varie avec \(z\).
Le calcul de la circulation ne peut alors pas se simplifier suffisamment pour conduire à un résultat simple et le théorème d'Ampère n'est pas un choix judicieux.
Approfondissement :
Il est à noter que le choix d'un contour s'appuyant sur l'axe de la spire conduit à refermer ce contour à l'infini (où le champ magnétostatique, décroissant avec la distance, est nul).
La circulation sur le contour global est alors la somme de deux termes dont l'un est nul (champ nul à l'infini) :
\(\displaystyle{ \oint_{\mathcal{C}} \vec B . \vec{ \mathrm{d} l } = \int_{\mathcal{C}_1} \vec B . \vec{ \mathrm{d} l } + \int_{\mathcal{C}_2} \vec B . \vec{ \mathrm{d} l } }\)
Il ne reste que :
\(\displaystyle{ \oint_{\mathcal{C}} \vec B . \vec{ \mathrm{d} l } = \int_{\mathcal{C}_1} \vec B . \vec{ \mathrm{d} l } = \int_{-\infty}^{+\infty} B(z) . \vec{e_z} . \vec{ \mathrm{d} l } }\)
Calcul de B à partir de la loi de Biot et Savart
En explicitant les calculs dans une base orthonormale directe :
On peut décomposer les vecteurs dans un système de repérage cylindrique lié au point \(P\) : \(\mathcal{R} = ( O ; \vec{e_{\rho}} , \vec{e_{\phi}} , \vec{e_z} )\)
Remarque :
Il faut faire attention à ne pas intégrer dans ce repère puisque les deux premières composantes \(\vec{e_{\rho}}\) et \(\vec{e_{\phi}}\) sont mobiles avec \(P\). Néanmoins, on sait par l'étude des symétries que le champ est porté par \(\vec{e_z}\) qui, lui, est indépendant de \(P\). Comme c'est la seule composante qui nous intéresse, on pourra alors l'intégrer sans difficulté.
Nous pouvons expliciter les points et vecteurs dans \(\mathcal{R}\) :
\(I \vec{ \mathrm{d} l}(P) \mathrm{ } \left( \begin{array}{c} 0 \\ I . \mathrm{d} l \\ 0 \end{array} \right)_{\mathcal{R}} \quad P \mathrm{ } \left( \begin{array}{c} a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)_{\mathcal{R}} \mathrm{ }\) et \(\mathrm{ } M \mathrm{ } \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array} \right)_{\mathcal{R}} \quad\) d'où \(\mathrm{ } \vec{PM} \mathrm{ } \left( \begin{array}{c} -a \\ 0 \\ z \end{array} \right)_{\mathcal{R}} \mathrm{ }\) et \(PM = \sqrt{a^2 + z^2}\)
\(\Rightarrow \mathrm{ } I \vec{\mathrm{d} l} (P) \wedge \vec{PM} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ I . \mathrm{d} l \\ 0 \end{array} \right)_{\mathcal{R}} \wedge \left( \begin{array}{c} -a \\ 0 \\ z \end{array} \right)_{\mathcal{R}} = \left( \begin{array}{c} z . I . \mathrm{d} l \\ 0 \\ a . I . \mathrm{d} l \end{array} \right)_{\mathcal{R}}\)
soit \(\displaystyle{ \vec{\mathrm{d} B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} \left( \begin{array}{c} z . I . \mathrm{d} l \\ 0 \\ a . I . \mathrm{d} l \end{array} \right)_{\mathcal{R}} }\)
L'étude des symétries a montré que le champ magnétostatique sur l'axe de la spire est porté par l'axe \(Oz\) seulement ; on peut ainsi écrire \(\displaystyle{\vec B(M) = \int_{\mathcal{D} } \mathrm{d} B_z . \vec{e_z}}\) qui devient d'après l'expression précédente :
\(\displaystyle{ \mathrm{d} B_z = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{a . I . \mathrm{d} l }{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} }\)
\(\begin{array}{llll} \Rightarrow & \vec B(M) & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{a . I }{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} \int_0^{2 \pi a} \mathrm{d} l . \vec{e_z} } \\ & & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{a . I }{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} } 2 \pi a . \vec{e_z} \\ & & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0 I}{2}\frac{a^2}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}} \vec {e_z} } \end{array}\)
En introduisant l'angle \(\theta\), et en remarquant que \(\frac{a}{PM}=\frac{a}{\sqrt{a^2 + z^2}}=\sin\alpha=\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\) ,
on a : \(\displaystyle{ \vec B(M) = \frac{\mu_0 I}{2 a} \sin^3 \theta . \vec{e_z} }\)
En exploitant les propriétés géométriques :
Un élément de courant \(I \vec{\mathrm{d} l}(P)\) crée en \(M\) un champ magnétostatique élémentaire :
\(\displaystyle{ \vec{\mathrm{d} B} (M) = \frac{\mu_0}{4 \pi} I \vec{\mathrm{d} l}(P) \wedge \frac{\vec{PM}}{PM^3} }\)
Il a pour norme \(\displaystyle{ \mathrm{d} B (M) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \mathrm{d} l(P)}{PM^2} }\) puisque les deux vecteurs \(I \vec{\mathrm{d} l}(P)\) et \(\vec{PM}\) sont orthogonaux par construction.
L'étude des symétries a montré que le champ magnétostatique sur l'axe de la spire est porté par l'axe \(Oz\) seulement, on peut ainsi écrire \(\displaystyle{ \vec B(M) = \int_{\mathcal{D}} \mathrm{d} B_z . \vec{e_z} }\).
Remarque :
Cela signifie que si l'on superpose les contributions de deux éléments de la distribution de courant \(\mathcal{D}\) qui sont symétriques par rapport à l'axe, seuls les termes selon \(Oz\) ne se détruisent pas.
En introduisant l'angle \(\theta\), et en remarquant que \(\vec{\mathrm{d} B}(M)\) est orthogonal à \(\vec{PM}\) (\(\vec{\mathrm{d} B}\) proportionnel à \(\vec{\mathrm{d} l} \wedge \vec{PM}\)), on peut expliciter :
\(\begin{array}{lll} \mathrm{d} B_z & = & \displaystyle{ \mathrm{d} B . \cos \left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) } \\ & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \mathrm{d} l(P)}{PM^2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{2} \right) } \\ & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \mathrm{d} l(P)}{PM^2} \sin \theta} \end{array}\)
\(\begin{array}{llll} \Rightarrow & \vec B(M) & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \sin \theta}{PM^2} \int_0^{2 \pi a} \mathrm{d} l . \vec{e_z} } \\ & & = & \displaystyle{ \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I . \sin \theta}{PM^2} 2 \pi a . \vec{e_z} } \end{array}\) puisque \(\theta\) est constant quand \(P\) décrit la spire.
Comme \(\displaystyle{ \frac{a}{PM} = \sin \alpha = \sin (\pi - \theta) = \sin \theta}\), on a \(\displaystyle{ \vec B(M) = \frac{\mu_0 I}{2 a} \sin^3 \theta . \vec{e_z} }\)
Cette dernière expression est la plus concise mais elle présente l'inconvénient de ne pas faire apparaître \(z\) explicitement.
On peut remarquer que :
\(\sin\theta=\sin(\pi-\theta)=\sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2 + z^2}}\) , soit \(\displaystyle{ \sin^3 \theta = \frac{a^3}{\left( a^2 + z^2 \right)^{3/2}} }\)
d'où \(\displaystyle{ \vec B(M) = \frac{\mu_0 I}{2} \frac{a^2}{\left( a^2 + z^2 \right)^{3/2}} \vec{e_z} }\)