Théorèmes généraux

Partie

Question

Masse sur un plateau (*)

Un point matériel de masse m est posé sur un plateau horizontal. Ce plateau est animé par rapport au sol d'un mouvement vertical sinusoïdal décrit par l'équation \(z = a \cos \omega t\).

A quelle condition doit satisfaire \(\omega\) pour que la masse ne décolle pas du plateau ?

A.N.: \(a = 5\textrm{ cm}, g = 9,8 \textrm{ m.s}^{-2}\).

Calculer la fréquence critique.

Aide simple

La bille est entraînée par le plateau

Solution détaillée

On lie au plateau \(P\) un référentiel (\(P,x,z\)). On lie au sol un référentiel (\(O,X,Z\)) et on le suppose galiléen.

Dans (\(O,x,z\)) galiléen, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

\(\displaystyle{m(\overrightarrow{\gamma/P}+\overrightarrow\gamma_e+\overrightarrow\gamma_c)=m\overrightarrow g+\overrightarrow R}\)

Il n'y a pas de rotation du plateau, donc l'accélération de Coriolis est nulle :

\(\displaystyle{(\overrightarrow\omega_e=\overrightarrow0)\textrm{ et }\overrightarrow\gamma_c=\overrightarrow0}\) ;

l'accélération d'entraînement se réduit à -\(\omega^2a\cos \omega t\) car le mouvement du plateau dans (\(O,X,Z\)) est donné par:

\(Z = a \cos \omega t\) ce qui implique\( Z'' = - \omega^2a \cos \omega t\)

L'accélération du plateau dans (\(O,X,Z\)) s'écrit ,

\(\displaystyle{\omega^2a\cos\omega t\overrightarrow k}\)

par suite :

\(\displaystyle{m\overrightarrow{\gamma/P}-m\omega^2a\cos\omega t\overrightarrow k=m\overrightarrow g+\overrightarrow R}\)

On veut que le point matériel soit en équilibre sur le plateau donc \(\displaystyle{\overrightarrow{\gamma/P}=\overrightarrow0}\) ,

\(\displaystyle{m\overrightarrow g+\overrightarrow R+m\omega^2a\cos\omega t\overrightarrow k=\overrightarrow0}\)

\(\displaystyle{-mg+R+m\omega^2a\cos\omega t}\)

\(\displaystyle{R=mg-m\omega^2a\cos\omega t}\)

La masse décolle du plateau lorsque la réaction s'annule, soit :

\(0 = mg - m \omega^2 a \cos \omega t\)

La pulsation est alors donnée par :

\(\displaystyle{\omega^2=\frac{g}{a\cos\omega t}}\)

Cette relation doit être satisfaite à tout instant; la valeur minimale de \(\omega\) à ne pas dépasser est celle qui correspond à

\(\cos \omega t\) maximum, soit

\(\displaystyle{\cos\omega t=1\textrm{ et }\omega\leq\sqrt{\frac{g}{a}}}\)

A.N. \(\omega = 14 \textrm{ rad.s}^{-1}, \textrm{ période }T = 0,45 \textrm{ s}, \textrm{ fréquence }f = 2,23 \textrm{ Hz}\)