Théorèmes généraux
Partie
Question
Jet de briques (**)
Un maçon assis dans un wagonnet jette des briques vers l'arrière à intervalle de temps régulier avec une vitesse de \(5\textrm{ m/s }\) par rapport au wagonnet. Chaque brique a une masse de \(3\textrm{ k}\). Le wagonnet, au début immobile, peut rouler sans frottement sur des rails horizontaux; il a une masse de \(150\textrm{ k }\).
Que se passe-t-il ? Calculer la variation de vitesse du wagonnet lorsque le maçon jette la \(\textrm n^{\textrm{ième}}\) brique.
Aide simple
exprimer les quantités de mouvement avant et après chaque jet
Solution détaillée
Appelons \(M = 150 \textrm{ k }\) la masse initiale du wagonnet, \(m = 3 \textrm{ k}\) la masse d'une brique. Nous choisissons comme système l'ensemble (wagonnet + briques). La résultante des forces extérieures appliquées au système est nulle (poids et réaction des rails : \(\displaystyle{m\overrightarrow g+\overrightarrow R=\overrightarrow0}\) ). C'est donc un système isolé dont la quantité de mouvement se conserve. Nous étudions le mouvement du wagonnet dans un référentiel R galiléen lié au sol, le wagonnet se déplaçant sur l'axe Ox.
A l'instant initial (\(t = 0\)) le wagonnet est immobile en \(O\). Soit \(\Delta t\) l'intervalle de temps entre deux jets de briques. La première brique est lancée à l'instant\( t_1 = \Delta t\), la nème à l'instant \(tn = n\Delta t\).
A l'instant\( t_1\) après le jet de la première brique, le wagonnet prend une vitesse \(\overrightarrow v_1\) par rapport à \(R\) et la brique jetée, une vitesse \(\overrightarrow v\) par rapport à un référentiel lié au wagonnet avant le jet ; c'est à dire par rapport au sol puisque le wagonnet était arrêté. La conservation de la quantité de mouvement dans \(R\) s'écrit :
\((M-m)\overrightarrow v_1+m\overrightarrow v=\overrightarrow0\)
Soit en composantes sur \(Ox : (M - m)v_1 - mv = 0\)
L'écart de vitesse entre l'instant \(t = 0\) et l'instant\( t = t_1\) est donc :
\(\displaystyle{\Delta_1v=v_1-0=\frac{mv}{M-m}}\)
Dans l'intervalle \(t_1,t_2\) le wagonnet moins une brique roule à vitesse constante \(\overrightarrow v\) (principe d'inertie).
A l'instant \(t_2 = 2\Delta t\) le maçon jette une deuxième brique avec une vitesse \(\overrightarrow v\) par rapport au wagonnet, donc avec une vitesse \(\overrightarrow v+\overrightarrow v_1\) par rapport à \(R\) et en appelant la vitesse \(\overrightarrow v_2\) du wagonnet après le deuxième jet, la conservation de la quantité de mouvement dans \(R\) s'écrit :
\(\displaystyle{(M-2m)\overrightarrow v_2+m(\overrightarrow v+\overrightarrow v_1)=(M-m)\overrightarrow v_1}\)
Soit :
\(\displaystyle{(M-2m)\overrightarrow v_1-m\overrightarrow v=(M-2m)\overrightarrow v_2}\)
En projection sur Ox : \((M - 2m) v_1 + m v = (M-2m) v\)
D'où la vitesse \(v_2\) et l'écart \(\Delta_2v = v_2 - v_1\) :
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}v_2&=&\frac{mv(2M-3m)}{(M-2m)(M-m)}\\\Delta_2v&=&\frac{mv}{(M-2m)}\end{array}}\)
En raisonnant par récurrence on en déduit l'écart de vitesse au \(\displaystyle{\textrm n^{\textrm{ème}}}\) jet de brique :
\(\displaystyle{\Delta_nv=\frac{mv}{(M-nm)}=0,10\textrm{ ms}^{-1}}\)