Puissance - Travail - Energie

Nous supposons maintenant le référentiel [\(R\)] galiléen et un point matériel mobile \(M\) de masse m animé d'une vitesse instantanée \(\displaystyle{\overrightarrow v}\) dans [\(R\)] et auquel est appliquée une force\( \displaystyle{\overrightarrow F}\).

 Le théorème de la quantité de mouvement appliqué à \(M\) s'écrit :

\(\displaystyle{m\frac{\textrm{d}\overrightarrow v}{\textrm{dt}}=\overrightarrow F}\)

Le travail de la force au cours du déplacement du mobile de \(M_1\) à \(M_2\) est:

\(\displaystyle{{\textrm{W}_1}^2=\int_{M_1}^{M_2}\overrightarrow F.\overrightarrow{dl}=\int_{M_1}^{M_2}\overrightarrow F.\overrightarrow vdt}\)

Compte tenu de l'expression du principe fondamental ci-dessus:

\(\textrm{W}_1^2=\int_{M_1}^{M_2}m\frac{\textrm{d}\overrightarrow v}{\textrm{dt}}.\overrightarrow vdt=\int_{M_1}^{M_2}m\overrightarrow v.\overrightarrow{dv}=\int_{M_1}^{M_2}d(\frac{1}{2}mv^2)\)

\(\textrm{W}_1^2=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\)

 en appelant \(\displaystyle{\overrightarrow v_1}\) la vitesse du mobile en \(M_1\) et \(\displaystyle{\overrightarrow v_2}\) sa vitesse en \(M_2\).

Théorème de l’Énergie cinétique pour un point:

La variation de l'énergie cinétique d'un point matériel lorsqu'il parcourt sa trajectoire d'un point \(M_1\) à un point \(M_2\) est égale au travail de la résultante des forces appliquées au point matériel de \(M_1\) à \(M_2\) le long de la trajectoire.

Remarque :

On a dit "travail de la résultante des forces" car ces forces sont toutes appliquées au même point \(M\) et on se trouve dans le cas où le travail de toutes les forces est égal au travail de la résultante.

La simulation suivante montre la chute de deux corps à laquelle peut s'appliquer le théorème précédent. Dans le cas de gauche, on considère que la seule force agissant sur la boule est son poids. Dans le cas de droite, en plus du poids de la balle agit une force de résistance de l'air.

Soit un système de \(N\) points matériels dans un référentiel [\(R\)] galiléen le point \(M_i\) de masse \(m_i\) est animé à l'instant \(t\) d'une vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v_i}}\) et est soumis à l'action d'une force \(\displaystyle{\overrightarrow F_i}\) qui se décompose naturellement en\( \displaystyle{\overrightarrow F_{iint}}\) (force intérieure) et \(\displaystyle{\overrightarrow F_{iext}}\) (force extérieure au système).

Dans [\(R\)] galiléen, le théorème de la quantité de mouvement appliqué à \(M_i\) s'écrit:

\(\displaystyle{m_i\frac{\textrm{d}\overrightarrow v_i}{\textrm{dt}}=\overrightarrow F_i=\overrightarrow F_{iint}+\overrightarrow F_{iext}}\)

Envisageons un déplacement du système; le déplacement d'un point \(M_i\) est en général différent de celui d'un autre point \(M\).

Pour le point \(M_i\) : appelons \(M_{i^1}\) le point de départ et \(M_{i^2}\) le point d'arrivée sur la trajectoire suivie par \(M_i\)

Le travail de la force s'écrit : \(\displaystyle{W_i=\int_{M_{i^1}}^{M_{i^2}}\overrightarrow F_i.\overrightarrow v_idt}\)

et pour tous les points matériels du système, on fait la somme des travaux de toutes les forces:

\(\begin{array}{rcl}W=\sum_{i=1}^N \int_{M_{i^1}}^{M_{i^2}}\overrightarrow F_i.\overrightarrow v_idt&=&\sum_{i=1}^N\int_{M_{i^1}}^{M_{i^2}}d(\frac{1}{2}m_iv_i^2)\\&=&\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m_iv_{i2}^2-\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m_iv_{i1^2}\end{array}\)

\(\displaystyle{W=T_2-T_1}\)

Il faut bien remarquer que:

\(\displaystyle{W=\sum_{i=1}^N\int_{M_{i^1}}^{M_{i^2}}\overrightarrow F_i.\overrightarrow v_idt=\sum_{i=1}^{N}\int_{M_{i^1}}^{M_{i^2}}\overrightarrow F_{iint}.\overrightarrow v_idt+\sum_{i=1}^{N}\int_{M_{i^1}}^{M_{i^2}}\overrightarrow F_{iext}.\overrightarrow v_idt}\)

Théorème de l’Énergie cinétique pour un système:

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un système de points matériels entre un instant de départ et un instant d'arrivée est égale à la somme des travaux de toutes les forces (intérieures et extérieures) appliquées à chacun des points du système le long de la trajectoire de chacun de ces points dans le même intervalle de temps

Remarque:

Le théorème de l'énergie cinétique n'a de sens que si le référentiel par rapport auquel on détermine cette énergie cinétique est galiléen.

Considérons une force appliquée en un point \(M\) décrivant une trajectoire (\(C\)) avec une vitesse instantanée dans un référentiel [\(R\)].

La puissance instantanée de la force \(\displaystyle{\overrightarrow F}\) dont le point d'application se déplace avec une vitesse instantanée dans le référentiel \(R\) est la grandeur scalaire:

\(\displaystyle{P(t)=\overrightarrow F(t).\overrightarrow v(t)}\)

Or, à tout instant, on a \(\displaystyle{\overrightarrow F(t)=m\overrightarrow{\gamma}(t)}\) et en reportant dans l'expression de la puissance, on obtient : \(\displaystyle{P(t)=m\overrightarrow{\gamma}(t).\overrightarrow v(t)}\)

qui n'est pas autre chose que la dérivée par rapport au temps de la fonction \(T\) : énergie cinétique":

\(\displaystyle{P(t)=\frac{\textrm{d}T(t)}{\textrm{dt}}}\)

Dans le mouvement d'un point matériel par rapport à un référentiel galiléen, la puissance de la force totale est la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique du point.

Il résulte du théorème de l'énergie cinétique que l'énergie cinétique a même dimension qu'un travail.

Dans le système SI, l'énergie cinétique s'exprime comme le travail en Joule.