Image d'un objet ponctuel à travers une lame [Lame à faces parallèles]

Image d'un objet ponctuel à travers une lame

Introduction

Puisqu'une lame à faces planes et parallèles est assimilable optiquement à un milieu transparent et homogène limité par deux dioptres plans qui en sont ses deux faces, la recherche de l' image ^[1]d'un objet ^[2]à travers une lame peut être faite en considérant le problème successivement au niveau de chacun des dioptres. Examinons dans ces conditions les deux cas suivants:

l'objet est ponctuel et situé à distance finie de la lame.

Considérons une lame d'indice n₂ et d'épaisseur : \(\mathrm e=\overline{\mathrm{HK}}\) dont les faces EE' et SS' baignent dans le même milieu d'indice n1 tel que n₂ > n₁ . Soit par ailleurs un objet ponctuel A₁ que l'on supposera réel ^[3]et qui, situé à distance finie, satisfait aux conditions du stigmatisme ^[4]approché. Son image à travers le dioptre d'entrée EE' est par suite un point virtuel A₂ tel que :

\(\overline{\mathrm A_2\mathrm H}=\overline{\mathrm A_1\mathrm H}~\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}~~~~(1)~\) (formule du dioptre plan)

Plaçons-nous maintenant au niveau de la face de sortie SS' de la lame. Au regard de ce dioptre, l' image virtuelle ^[5]A₂ de A₁ joue le rôle d'un objet qui, optiquement parlant, appartient au milieu d'indice n₂ ; A₂ doit donc être considéré, vis à vis de SS' , comme un point réel car il se trouve, compte-tenu du sens de propagation de la lumière, en amont du dioptre SS', c'est à dire dans son espace objet ^[6]. Il en résulte que l'image A'₁ de A₂ est virtuelle ,et telle que :

\(\overline{\mathrm{A'}_1\mathrm K}=\overline{\mathrm A_2\mathrm K}~\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}~~~~(2)~\) (formule du dioptre plan)

Par combinaison des équations (1) et (2) , il est facile de déterminer pour la lame la position relative de l'image finale et virtuelle A'₁ par rapport au point objet réel ^[3]A₁ . On a en effet :

\(\overline{\mathrm{A'}_1\mathrm K}=\big(\overline{\mathrm A_2\mathrm H}+\overline{\mathrm{HK}}\big)~\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}=\big(\overline{\mathrm A_1\mathrm H}~\frac{\mathrm n_2}{\mathrm n_1}+\overline{\mathrm{HK}}\big)~\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}=\overline{\mathrm A_1\mathrm H}+\overline{\mathrm{HK}}~\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}=\overline{\mathrm A_1\mathrm K}+\overline{\mathrm{KH}}~\Big(1-\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}\Big)\)

soit \(\overline{\mathrm A_1\mathrm{A'}_1}=\overline{\mathrm{HK}}~\Big(1-\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}\Big)\) qui, rapportée aux données de la lame, s'écrit : \(\overline{\mathrm A_1\mathrm{A'}_1}=\mathrm e~\Big(1-\frac{\mathrm n_1}{\mathrm n_2}\Big)~~~~(3)\)

Cette relation algébrique est vraie quelle que soit la nature de l'objet ponctuel A1 ; elle mesure le déplacement apparent de l'objet lorsqu'il est vu par un observateur à travers une lame à faces planes et parallèles d'épaisseur e.

L'objet est ponctuel et situé à l'infini.

Dans ce cas l'image A'₁ de A₁ à travers la lame est située à l'infini. On sait en effet qu'à travers un dioptre plan, l'image d'un point à l'infini est elle même à l'infini. Dans ces conditions, à l'objet A₁ correspond, par réfraction sur le dioptre d'entrée EE' une image A₂ elle-même à l'infini. Cette dernière joue pour la face de sortie SS' de la lame le rôle d'un objet à l'infini dont l'image A'₁ se situe également à l'infini, dans la même direction que l'objet A₁ .Dans ce cas l'image A'₁ de A₁ à travers la lame est située à l'infini. On sait en effet qu'à travers un dioptre plan, l'image d'un point à l'infini est elle même à l'infini. Dans ces conditions, à l'objet A₁ correspond, par réfraction sur le dioptre d'entrée EE' une image A₂ elle-même à l'infini. Cette dernière joue pour la face de sortie SS' de la lame le rôle d'un objet à l'infini dont l'image A'₁ se situe également à l'infini, dans la même direction que l'objet A₁ .

Pour mémoire on peut rappeler qu'ici les points conjugués ^[7]A₁ et A'₁constituent un couple de points rigoureusement stigmatiques.

Conclusion

En conclusion on notera que:

L'image d'un point source à travers une lame à faces planes et parallèles est toujours de nature différente de celle de l'objet; si l'un est réel, l'autre est virtuelle, et vice-versa.

La recherche de l'image ponctuelle d'un point source situé à distance finie se fait par application de la formule du dioptre plan sur la face d'entrée de la lame puis sur sa face de sortie.

L'image d'un point source à l'infini est un point lui-même rejeté à l'infini, dans la même direction.

Notes

Image
On appelle image d'un objet par un système optique, l'ensemble des images des points de l'objet.
On appelle image d'un point, la zone de convergence des rayons, après traversée du système optique (image réelle) ou la zone d'où les rayons semblent provenir (image virtuelle). Lorsque cette zone se réduit à un point, le système est dit stigmatique.
En pratique, l'image ressemble à l'objet (sinon le système ne présente pas d'intérêt), elle peut être
- agrandie : plus grande que l'objet ( |grandissement| >1) ;
- rapetissée : plus petite que l'objet ( |grandissement| <1) ;
- droite : dans le même sens que l'objet (grandissement >0) ;
- renversée : dans le sens contraire à l'objet (grandissement <0) ;
- déformée : un système qui déforme parce qu'il n'a pas le même grandissement dans différentes directions provoque une anamorphose (ex : glace déformante) ;
- floue
Objet
En optique, on appelle objet tout ensemble de points lumineux. Il peut s'agir d'une source primaire qui produit de la lumière (ex : soleil, étoiles, filament de lampe allumée, écran de télévision ou d'ordinateur en fonction), ou d'une source secondaire qui diffuse une partie de la lumière qu'elle reçoit (ex : lune, planètes, la plupart des objets qui nous entourent lorsqu'ils sont éclairés).
On considère, en général, des objets plans situés dans des plans de front de systèmes optiques.
Dans des systèmes composés on pourra considérer qu'une image produite par une première partie du système est un objet pour le reste du système.
Objet Réel
Un objet réel est un objet situé en avant de la face d'entrée du système optique, dans l'espace objet réel.
Des rayons (bien réel) partent des points qui constituent cet objet vers la face d'entrée du système optique.
Avec une loupe, des lunettes correctrices, ou un télescope, on observe des objets réels.
Dans un système optique composé, une image, formée par une première partie du système, peut être considéré comme un objet réel pour la seconde partie si l'image en question est située en avant de cette seconde partie.
Stigmatisme
Propriété d'un système optique qui associe un seul point image à un seul point source. Un système peut n'être stigmatique que pour certains points remarquables. Pour un système stigmatique, tous les rayons issus d'un point source du domaine de stigmatisme, convergent vers le (ou proviennent du) même point image. Le stigmatisme est dit rigoureux lorsque le chemin optique entre le point objet et le point image est indépendant du rayon. Le stigmatisme est dit approché lorsque les conditions de Gauss sont nécessaires pour qu'il soit réalisé.
Exemple de système non stigmatique pour le couple de points \(AA'\) : le rayon \(APP"A"\) ne passe pas par \(A'\), image de \(A\) par d'autres rayons.
Un dioptre plan n'est pas stigmatique.
Image Virtuelle
Lorsque des rayons semblent provenir d'un plan situé en deçà du système optique, dans l'espace image virtuelle, on dit que l'image est virtuelle.
C'est le prolongement des rayons issus du point objet conjugué qui convergent au point image.
L'image virtuelle ne peut pas être recueillie sur un écran, mais seulement observée directement ou par un autre système optique.
Lorsqu'on utilise une loupe, l'image directe et agrandie que l'on observe est une image virtuelle.
Les verres correcteurs pour myopes (lentilles divergentes) produisent des images virtuelles de tous les objets observés à travers les lunettes.
Espace Objet
Espace Objet Réel
L'espace objet réel s'étend en deçà de la face d'entrée du système optique. Un objet situé dans cet espace hachuré est réel : les rayons passent vraiment par le point A.
Espace Objet Virtuel
L'espace objet virtuel s'étend au delà de la face d'entrée du système optique. Un objet situé dans cet espace grisé est virtuel : c'est le prolongement des rayons en aval de la face d'entrée, qui convergent au point A.
Conjugués
Les points A et A' sont dits conjugués, par un système optique, lorsque A' est l'image de A. Le système est alors stigmatique pour les points A et A'.
Les plans P et P' sont dits conjugués, lorsque tout point du plan P possède une image dans le plan P'.