Opérations sur les nombres complexes

Partie

Question

On donne les deux nombres complexes :

\(\underline{z}_{1} = -\sqrt{6} + j \sqrt{2}\) et \(\underline{z}_{2} = 2 \left[\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+j \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right]\)

Exprimer sous forme algébrique : \(\underline{z}_{2}\); \(\underline{z}_{1}+ \underline{z}_{2}\); \(\underline{z}_{1}~\underline{z}_{2}\); \(\underline{z}_{1}^{2}\); \(\frac{1}{\underline{z}_{2}}\) ; \(\frac{\underline{z}_{1}}{ \underline{z}_{2}}\)

Aide simple

Mettre \(\underline{z}_{2}\) sous la forme algébrique et effectuer les opérations de somme, produits et quotients .

Aide détaillée

Forme algébrique de \(\underline{z}_{2}\):

\(\underline{z}_{2} = 2 \left[\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+j \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right] = 2 \left[\frac{\sqrt{3}}{2}+j \left(-\frac{1}{2}\right)\right] = \sqrt{3} - j\)

Solution simple

Après calcul nous avons :

\(\underline{z}_{2} = \sqrt{3} - j\) ; \(\underline{z}_{1} + \underline{z}_{2} = \left(-\sqrt{6} + \sqrt{3}\right) + j\left(\sqrt{2} - 1\right)\)

\(\underline{z}_{1}\underline{z}_{2} = 2 \sqrt{2} \left(-1+j\sqrt{3}\right)\) ; \(\underline{z}_{1}^{2} = 4\left(1-j\sqrt{3}\right)\)

\(\frac{1}{\underline{z}_{2}} = \frac{\sqrt{3} + j}{4}\) ; \(\frac{\underline{z}_{1}}{\underline{z}_{2}} = - \sqrt{2}\)

Solution détaillée

Transformons \(\underline{z}_{2}\) sous la forme algébrique :

\(\underline{z}_{2}= 2 \left[\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+j \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right] =2 \left[\frac{\sqrt{3}}{2}+j \left(-\frac{1}{2}\right)\right] = \sqrt{3}-j\)

Addition :

\(\underline{z}_{1}+\underline{z}_{2} =\left(-\sqrt{6} + j\sqrt{2}\right) + \left(\sqrt{3} - j\right)= \left(-\sqrt{6} + \sqrt{3}\right) + j\left(\sqrt{2} - 1\right)\)

Multiplication :

\(\begin{array}{lllllll}\underline{z}_{1}\underline{z}_{2}& =\left(-\sqrt{6} + j \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-j\right)=-\sqrt{18} + j\sqrt{6} + j \sqrt{6}- j^{2}\sqrt{2}\\&=-\sqrt{18}+\sqrt{2} +2j\sqrt{6}=2 \sqrt{2} \left(-1+j\sqrt{3}\right)\end{array}\)

Puissance :

\(\underline{z}_{1}^{2} =\left(-\sqrt{6}+j\sqrt{2}\right)^{2}=\left(-\sqrt{6}\right)^{2}+2\left(-\sqrt{6}\right)j\sqrt{2}+j^{2}2= 4\left(1-j\sqrt{3}\right)\)

Inversion :

\(\frac{1}{\underline{z}_{2}} =\frac{1}{\left(\sqrt{3}-j\right)}=\frac{\sqrt{3} + j}{\left(\sqrt{3}-j\right)\left(\sqrt{3}+j\right)}= \frac{\sqrt{3} + j}{4}\)

Quotient :

\(\frac{\underline{z}_{1}}{\underline{z}_{2}} =\frac{-\sqrt{6}+j\sqrt{2}}{\sqrt{3}-j}=\frac{\left(-\sqrt{6}+j\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+j\right)}{\left(\sqrt{3}-j\right)\left(\sqrt{3}+j\right)}=\frac{-4\sqrt{2}}{4}= - \sqrt{2}\)

Question

On donne les deux nombres complexes :

\(\underline{z}_{1} = -\sqrt{6} + j \sqrt{2}\) et \(\underline{z}_{2} = 2 \left[\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+j \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right]\)

Exprimer sous forme trigonométrique : \(\underline{z}_{1}\); \(\underline{z}_{1} \underline{z}_{2}\); \(\underline{z}_{1}^{2}\); \(\frac{1}{\underline{z}_{2}}\) ; \(\frac{\underline{z}_{1}}{ \underline{z}_{2}}\)

Aide simple

Mettre \(\underline{z}_{1}\) sous la forme trigonométrique et effectuer les opérations de produits et quotients .

Aide détaillée

Déterminer le module \(\left(\left\arrowvert \underline{z}_{1} \right\arrowvert\right)\) et l'argument \(\left(\arg \underline{z}_{1}\right)\) de ce nombre complexe .Appliquer les propriétés des modules et des arguments pour le produit et le quotient de deux nombres complexes .

Solution simple

Après calcul nous obtenons :

\(\underline{z}_{1}= 2\sqrt{2} \left(\cos \frac{5\pi}{6}+j \sin \frac{5\pi}{6}\right)\); \(\underline{z}_{1}\underline{z}_{2} = 4\sqrt{2} \left(\cos \frac{2\pi}{3}+j \sin \frac{2\pi}{3}\right)\)

\(\underline{z}_{1}^{2}= 8 \left[\cos \frac{5\pi}{3}+j \sin \frac{5\pi}{3}\right]\); \(\frac{1}{\underline{z}_{2}} = \frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{6}+j \sin \frac{\pi}{6}\right)\);\(\frac{\underline{z}_{1}}{\underline{z}_{2}} = \sqrt{2} ~(\cos \pi + j \sin \pi)\)

Solution détaillée

Transformons \(\underline{z}_{1}\) sous la forme trigonométrique :

Module de \(\underline{z}_{1}\): \(\left\arrowvert \underline{z}_{1} \right\arrowvert = \sqrt{\left(-\sqrt{6}\right)^{2} + \left(\sqrt{2}\right)^{2}} = \sqrt{6+2} = 2\sqrt{2}\)

Argument de \(\underline{z}_{1}\): \(\arg \underline{z}_{1} = \alpha_{1}\) est tel que

\(\left.\begin{array}{lll} \cos \alpha_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \alpha_{1} = \frac{1}{2} \end{array}\right\} \alpha_{1} = \frac{5 \pi}{6}\)

Et \(\underline{z}_{1} = 2\sqrt{2} \left(\cos \frac{5 \pi}{6} + j \sin \frac{5 \pi}{6}\right)\)

Multiplication :

\(\begin{array}{lll}\underline{z}_{1}\underline{z}_{2} &= 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{5 \pi}{6} + j \sin \frac{5 \pi}{6}\right) \times 2 \left[\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + j \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right] \\\\ &=4 \sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + j \sin \left(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right)\right] \\\\ &= 4 \sqrt{2} \left(\cos \frac{2 \pi}{3} + j \sin \frac{2 \pi}{3}\right) \end{array}\)

Puissance :

\(\begin{array}{lll}\underline{z}_{1}^{2} = \underline{z}_{1} \cdot \underline{z}_{1} &= \left(2\sqrt{2}\right)^{2} \left[\cos\left(\frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}\right) + j \sin \left(\frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}\right)\right]\\\\&=8 \left(\cos\frac{10\pi}{6} + j \sin \frac{10 \pi}{6}\right) = 8\left(\cos \frac{5\pi}{3} + j\sin \frac{5 \pi}{3}\right) \end{array}\)

Inversion :

\(\frac{1}{\underline{z}_{2}} = \frac{1}{2\left[\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + j \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right]} = \frac{\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) - j \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{2 \times 1} = \frac{1}{2} \left(\cos\frac{\pi}{6} + j\sin\frac{\pi}{6}\right)\)

Quotient :

\(\begin{array}{lll}\frac{\underline{z}_{1}}{\underline{z}_{2}} &= \frac{2\sqrt{2} \left(\cos \frac{5 \pi}{6} + j \sin \frac{5 \pi}{6}\right)}{2\left[\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + j \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right]}\\\\&= \sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right)+j \sin \left(\frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right)\right]\\\\&= \sqrt{2}(\cos \pi + j \sin \pi) \end{array}\)