Équation dans C
Partie
Question
Calculer, sous forme algébrique, dans le corps des complexes \(\mathbb{C}\), les racines carrées du nombre complexe :
\(Z = - 3 - 4i\)
Aide simple
Définir la forme d'une des racines carrées de \(Z\).
Après avoir posé \(z = x + iy\) une des racines, nous devons résoudre l'équation : \(z^{2} = Z\) .
Aide détaillée
L'identification des parties réelle et imaginaire dans la relation \(z^{2} = Z\) conduit au système :
\(x^{2} - y^{2} = -3\)
\(x y = -2\)
Le module \(\arrowvert z^{2} \arrowvert = \arrowvert Z \arrowvert\) permet d'obtenir une troisième relation.
Rappel de cours
Voir le calcul des racines carrées par la méthode algébrique dans le chapitre des "Nombres complexes".
Solution simple
Obtention du système :
\(x^{2} - y^{2} = -3\)
\(x^{2} + y^{2} = 5\)
\(xy = -2\)
qui conduit à la solution :
\(z = \pm (1 - 2i)\)
Solution détaillée
Soit \(z = x + iy\) l'une des racines carrées de \(Z = X + iY = -3 - 4i\).
Nous devons résoudre : \(z^{2} = Z\) c'est-à-dire
\((x + iy)^{2} = X + iY \Leftrightarrow x^{2} - y^{2} + i2xy = X + iY = -3 - 4i\)
Par identification des parties réelle et imaginaire, nous obtenons le système d'équations :
\(x^{2} - y^{2} = -3\) (1)
\(2xy = -4\) (2)
auquel s'ajoute une relation entre les modules :
\(\arrowvert z^{2} \arrowvert = \arrowvert Z \arrowvert \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = \sqrt{X^{2} + Y^{2}} = \sqrt{9+16} = 5\) (3)
La résolution de (1) et (3) conduit à :
\(\left\{\begin{array}{lll} x^{2} - y^{2} = -3 \\ x^{2} + y^{2} = 5 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lll} x^{2} =1 \\ y^{2} = 4 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lll} x=-1 \textrm{ et } +1 \\ y=-2 \textrm{ et } +2 \end{array}\right.\)
D'après (2), \(xy\) est négatif, donc \(x\) et \(y\) sont de signes contraires, d'où les racines carrées de \(Z\) :
\(z = \pm (1 - 2i)\)
Question
Soit, dans \(\mathbb{C}\), le polynôme défini par :
\(P(z) = z^{3} - [2m + i (1 + 4m)] z^{2} + 2m [-2 + i (1 + 4m)] z + 8m^{2}\)
où m est un paramètre complexe
a. Montrer que \(P(i) = 0\).
b. Définir le polynôme \(Q(z) = 0\) tel que : \(P(z) = (z - i) Q(z)\).
c. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation : \(Q(z) = 0\).
Aide simple
a. Vous devez vérifier la relation.
b. \(Q(z)\) peut être déterminé par division ou par identification de polynômes.
Par la mise en facteur de \((z - i)\), \(Q(z)\) est un polynôme du second degré en \(z\).
c. Résolution d'une équation du second degré.
Aide détaillée
b. Le polynôme \(Q(z)\) est obtenu :
soit par division suivant les puissances décroissantes de \(P(z)\) par \((z - i)\).
soit par identification, en cherchant \(Q(z)\) sous la forme de : \(Q(z) = z^{2} + az + b\)
c. Cette équation, dans \(\mathbb{C}\), admet pour discriminant réduit : \(\Delta' = m^{2} Z\).
Solution simple
a. \(P(i) = 0\)
b. \(Q(z) = z^{2} - 2m (1 + 2i) z + i 8m^{2}\)
c. \(Q(z) = 0\) pour \(z_1 = 2m\) et \(z_2 = i4m\)
Solution détaillée
a. \(P(i) = i^{3} - [2m + i (1 + 4m)] i^{2} + 2m [-2 + i (1 + 4m)] i + 8m^{2}\)
\(P(i) = - i + 2m + i + 4 i m - 4 i m - 2m - 8m^{2} + 8m^{2} = 0\)
b. Posons \(Q(z) = z^{2} + az + b\) d'où
\((z - i) Q(z) = (z - i)(z^{2} + az + b) = z^{3} + (a - i) z^{2} + (b - ai)z - bi\)
par identification à \(P(z)\) nous obtenons les coefficients \(a\) et \(b\), à savoir :
\(\begin{array}{ccc}a-i=-[2m+i(1+4m)] &\Rightarrow & a=-2 m (1+2i) \\ -bi= 8 m^{2} &\Rightarrow &b= i 8 m^{2} \end{array}\)
et
\(Q(z) = z^{2} - 2m (1 + 2i) z + i 8m^{2}\)
c. L'équation \(Q(z) = 0\) a pour discriminant réduit :
\(\begin{array}{lll}\Delta ' &= m^{2} (1+2i)^{2} - i 8 m^{2} = m^{2} (-3-4i) \\ & = m^{2} Z = m^{2} [\pm(1-2i)]^{2} \end{array}\)
Les racines de l'équation \(Q(z) = 0\) sont donc les nombres
\(z_1 = m (1 + 2i) + m (1 - 2i) = 2m\)
\(z_2 = m (1 + 2i) - m (1 - 2i) = 4im\)
Question
Dans un repère orthonormé \(\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)\) , on désigne par \(A\) le point d'affixe \(i\), et par \(B\) et \(C\) les images des racines de \(Q(z) = 0\).
Déterminer la valeur du paramètre \(m\) pour que le triangle \(ABC\) soit un triangle demi-équilatéral d'angle \(\pi/2\) et \(\pi/3\) respectivement en \(A\) et \(B\).
Aide simple
Problème de transformation d'un vecteur en un autre vecteur dans le plan complexe.
Un vecteur (côté du triangle) est le transformé d'un autre vecteur (autre côté du triangle) par une similitude plane.
Aide détaillée
Une similitude dans le plan complexe, transforme, par exemple, le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) en vecteur \(\overrightarrow{AC}\).
Rappel de cours
Se reporter aux transformations dans le plan complexe.
Solution simple
La similitude \(\mathcal{L}(A, \sqrt{3}, \pm \pi/2)\) est définie par son centre \(A\), son rapport \(\sqrt{3}\) et l'angle : \(+ \pi/2\) ou \(- \pi/2\).
\(\overrightarrow{AC}\) transformé de \(\overrightarrow{AB}\) dans le triangle \(ABC\) se traduit par :
\((z_{2}-i) = \sqrt{3} e^{\pm i \pi/2}\left( z_{1} - i \right)\)
donc
\(m= \frac{1 - i \varepsilon \sqrt{3}}{2 \left(2 - \varepsilon \sqrt{3}\right)}\) avec \(\varepsilon = \pm 1\)
Solution détaillée
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) les points d'affixes \(i\), \(z_1\) et \(z_2\). Le triangle \(ABC\) est demi-équilatéral d'angle \(\pi/2\) en \(A\) et \(\pi/3\) en \(B\).
Si le vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est le transformé du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) dans une similitude de centre \(A\), de rapport \(\sqrt{3}\) et d'angle \(\pm \pi/2\), alors :
\((z_{2}-i) = \sqrt{3} e^{\pm i \pi/2}\left( z_{1} - i \right)\)
\((4 i m - i) = \varepsilon \sqrt{3}~i (2m - i)\) avec \(\varepsilon = \pm 1\)
\(2 i m \left(2- \sqrt{3} \varepsilon\right) = i + \varepsilon \sqrt{3}\)
\(m = \frac{i + \varepsilon \sqrt{3}}{2i \left(2 - \varepsilon \sqrt{3}\right)} = \frac{1 - i \varepsilon \sqrt{3}}{2\left(2 - \varepsilon \sqrt{3}\right)}\)
Nous obtenons deux valeurs pour \(m\) suivant les valeurs de :
pour \(\varepsilon = +1 \quad m_{1} = \frac{1-i\sqrt{3}}{2\left(2-\sqrt{3}\right)}\)
pour \(\varepsilon = -1 \quad m_{2} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}\)
Question
Représenter dans le plan complexe le(s) triangle(s) \(ABC\) obtenu(s) en fonction du paramètre \(m\).
Aide simple
Le nombre de triangles à représenter est fonction du nombre de valeurs prises par \(m\).
Connaissant les affixes \(z_1\) et \(z_2\) des points \(B\) et \(C\) en fonction de \(m\), déterminer les parties réelle et imaginaire de chacun de ces points.
Aide détaillée
Vous devez obtenir deux triangles \(ABC\) car le transformé du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{AC}\) par une similitude peut s'effectuer par une rotation dans le sens direct ou le sens indirect du "conventionnel" sens trigonométrique.
Solution simple
Les affixes \(z_{1} = 2m\) et \(z_{2} = 4im = 2iz_{1}\) ds sommets \(B\) et \(C\) des triangles \(ABC\) sont :
pour \(\varepsilon = +1 \quad m_{1} = \frac{1-i\sqrt{3}}{2\left(2-\sqrt{3}\right)}\)
\(z_{1} = \left(2 + \sqrt{3}\right) \left[1-i \sqrt{3}\right]\)
\(z_{2} = 2\left(2 + \sqrt{3}\right) \left[\sqrt{3} + i\right]\)
pour \(\varepsilon = -1 \quad m_{2} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2\left(2 + \sqrt{3}\right)}\)
\(z_{1}' = \left(2 - \sqrt{3}\right) \left[1+i \sqrt{3}\right]\)
\(z_{2}' = 2\left(2 - \sqrt{3}\right) \left[-\sqrt{3} + i\right]\)
Solution détaillée
Par substitution des valeurs de \(m\) dans les expressions des affixes \(z_{1}\) et \(z_{2}\) des points \(B\) et \(C\) nous trouvons :
pour \(\varepsilon = +1 \quad m_{1} = \frac{1-i\sqrt{3}}{2\left(2-\sqrt{3}\right)}\)
\(z_{1} = 2 m = \frac{1-i\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{\left(1-i\sqrt{3}\right)\left(2 + \sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2 + \sqrt{3}\right)}\)
\(z_{1} = \left(2 + \sqrt{3} \right) \left[1 - i\sqrt{3} \right] \approx \mathrm{3,73} - i \mathrm{6,46}\)
\(z_{2} = 4 i m = 2 i z_{1} = 2 i \left(2+\sqrt{3}\right) \left[1 - i \sqrt{3}\right]\)
\(z_{2} = 2 \left(2 + \sqrt{3} \right) \left[\sqrt{3} +i\right] \approx \mathrm{12,9} + i \mathrm{7,46}\)
pour \(\varepsilon = -1 \quad m_{2} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}\)
\(z_{1}' = 2 m = \frac{1+i\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right)}\)
\(z_{1}' = \left(2 - \sqrt{3} \right) \left[1 + i\sqrt{3} \right] \approx \mathrm{0,268} + i \mathrm{0,46}\)
\(z_{2}' = 4 i m = 2 i z_{1}' = 2 i \left(2-\sqrt{3}\right) \left[1 + i \sqrt{3}\right]\)
\(z_{2}' = 2 \left(2 - \sqrt{3} \right) \left[-\sqrt{3} +i\right] \approx -\mathrm{0,92} + i \mathrm{0,53}\)