Formules d'addition
\(\forall a \textrm{ et } b \in \mathbb{R}^{2}\)
\(\begin{array}{lll}\textrm{ch }(a+b) = \textrm{ch } a ~\textrm{ch } b + \textrm{sh } a ~\textrm{sh } b \\ \textrm{ch }(a-b) = \textrm{ch } a ~\textrm{ch } b - \textrm{sh } a ~\textrm{sh } b \\ \textrm{sh }(a+b) = \textrm{sh } a ~\textrm{ch } b + \textrm{ch } a ~\textrm{sh } b \\ \textrm{sh }(a-b) = \textrm{sh } a ~\textrm{ch } b - \textrm{ch } a ~\textrm{sh } b \end{array}\)
Démonstration :
Portons, dans la formule \(e^{a + b} = e^{a} e^{b}\) , les expressions de
\(e^{a + b} = \textrm{ch}(a + b) + \textrm{sh}(a + b)\) ; \(e^{a} = \textrm{ch }a + \textrm{sh }a\) et \(e^{b} = \textrm{ch }b + \textrm{sh }b\)
alors
\(\textrm{ch }(a+b) + \textrm{sh }(a+b) = (\textrm{ch } a + \textrm{sh }a)(\textrm{ch }b+\textrm{sh }b) \)
\(= \textrm{ ch }a\textrm{ ch }b+\textrm{ sh }a\textrm{ sh }b + \textrm{ sh }a \textrm{ ch }b + \textrm{ ch }a\textrm{ sh }b\) (1)
Associons à cette relation, celle obtenue en changeant \(a\) en \(-a\) et \(b\) en \(-b\). Les parités des fonctions \(\textrm{ ch }\) et \(\textrm{ sh }\) conduisent à :
\(\textrm{ch }(a+b) - \textrm{sh }(a-b) = \textrm{ ch }a\textrm{ ch }b + \textrm{ sh }a\textrm{ sh }b - \textrm{ sh }a\textrm{ ch }b-\textrm{ ch }a\textrm{ sh }b\) (2)
Par addition (1 + 2) et soustraction (1 - 2), nous déduisons des relations :
\(\textrm{ch }(a+b) = \textrm{ch }a \textrm{ch }b + \textrm{sh }a \textrm{ sh }b\)
\(\textrm{sh }(a+b) = \textrm{sh }a \textrm{ch }b + \textrm{ch }a \textrm{ sh }b\)
Le changement de \(b\) en \(-b\) conduit aux expressions :
\(\textrm{ch }(a-b) = \textrm{ch }a \textrm{ch }b - \textrm{sh }a \textrm{ sh }b\)
\(\textrm{sh }(a-b) = \textrm{sh }a \textrm{ch }b - \textrm{ch }a \textrm{ sh }b\)
\(\textrm{th }(a+b) = \frac{\textrm{th }a + \textrm{th } b}{1 + \textrm{th }a\textrm{th }b}\)
\(\textrm{th }(a-b) = \frac{\textrm{th }a - \textrm{th } b}{1 - \textrm{th }a\textrm{th }b}\)
\(\textrm{coth }(a+b) = \frac{1+\textrm{coth }a\textrm{ coth } b}{\textrm{coth }a + \textrm{coth }b}\)
\(\textrm{coth }(a-b) = \frac{1-\textrm{coth }a\textrm{ coth } b}{\textrm{coth }a - \textrm{coth }b}\)
Démonstration :
Par définition :
\(\textrm{th }(a+b) = \frac{\textrm{sh }(a+b)}{\textrm{ch }(a+b)} = \frac{\textrm{sh }a\textrm{ ch }b+\textrm{ ch }a\textrm{ sh }b}{\textrm{ ch }a\textrm{ ch }b + \textrm{ sh }a\textrm{ sh }b}\)
En divisant les termes du numérateur et du dénominateur par \(\textrm{ch }a\) \(\textrm{ch }b\), il vient :
\(\textrm{th }(a+b) = \frac{\frac{\textrm{sh}a \textrm{ ch}b}{\textrm{ ch}a\textrm{ ch}b}+\frac{\textrm{ch}a \textrm{ sh}b}{\textrm{ch}a\textrm{ ch}b}}{\frac{\textrm{ch}a \textrm{ ch}b}{\textrm{ch}a\textrm{ ch}b}+\frac{\textrm{sh}a \textrm{ sh}b}{\textrm{ch}a\textrm{ ch}b}}\)
\(\textrm{th }(a+b) = \frac{\textrm{th }a + \textrm{th }b}{1+\textrm{th }a\textrm{ th }b}\)
Sachant que
\(\textrm{coth} (a+b) = \frac{1}{\textrm{th}(a+b)} = \frac{1+\textrm{th}a~ \textrm{th}b}{\textrm{th}a + \textrm{th}b} = \frac{1+\frac{1}{\textrm{coth }a~\textrm{coth }b}}{\frac{1}{\textrm{coth }a} + \frac{1}{\textrm{coth }b}}\)
\(\textrm{coth }(a+b) = \frac{1 + \textrm{coth }a \textrm{ coth }b}{\textrm{coth }a + \textrm{coth }b}\)
Le changement de \(b\) en \(-b\) conduit aux expressions :
\(\textrm{th }(a-b) = \frac{\textrm{th}a - \textrm{th}b}{1- \textrm{th}a~\textrm{th}b}\)
\(\textrm{coth }(a-b) = \frac{1 - \textrm{coth }a ~\textrm{coth }b}{\textrm{coth }a - \textrm{coth }b}\)
Remarque :
Les formules de trigonométrie hyperbolique se retrouvent de celles de trigonométrie circulaire d'après la comparaison précédente :
\(\sin (jx) = j \textrm{ sh }x\) ; \(\cos (jx) = \textrm{ ch }x\) ; etc...
En effet :
\(\begin{array}{ll}\textrm{ch}(a+b) = \cos(ja + jb) &= \cos(ja)\cos(jb) - \sin(ja)\sin(jb)\\& = \textrm{ch}a\textrm{ ch}b - (j~\textrm {sh}a)(j ~\textrm{sh}b) \\& = \textrm{ch}a~\textrm{ch}b + \textrm{sh}a~ \textrm{sh}b\end{array}\)