Étude de fonction

Partie

Soit \(f\) une fonction de la variable \(x\) définie par

\(y=x^2\sqrt{|\ln x|}\)

Question

Définition et continuité de \(f\)

Déterminer le domaine de définition, la continuité et le comportement asymptotique de \(f.\)

Aide simple

L'étude de \(f\) dépend du signe de \(\ln x.\)

Aide détaillée

Deux cas sont à envisager :

  • \(x \in ] 0, 1[\)

  • \(x > 1\)

Solution simple

La fonction \(f\) est définie pour \(x \in ] 0 ; + \infty [\) et pour :

\(\begin{array}{l l}x\in]0,1[&\color{blue}y=x^2\sqrt{-\ln x}\\x=1&\color{blue}y=0\\x>1&\color{blue}y=x^2\sqrt{\ln x}\end{array}\)

La courbe admet une branche parabolique de direction \(Oy.\)

Solution détaillée

La fonction est définie et continue sur \(] 0 ; + \infty [\)

\(\begin{array}{l l}Pour x\in]0,1[,&\color{blue}\ln x < 0 et \color{blue}y=x^2\sqrt{-\ln x}\\Pour x=1,&\color{blue}\ln x = 0 et \color{blue}y=0\\Pour x>1,&\color{blue}\ln x > 0 et \color{blue}y=x^2\sqrt{\ln x}\end{array}\)

Quand \(x \rightarrow +\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x\sqrt{\ln x}=+\infty\)

La courbe admet une branche parabolique de direction \(Oy.\)

Question

Dérivée première \(f'.\) Extremum

Déterminer la fonction dérivée \(f '(x).\) Étudier les variations de \(f.\) Valeurs de \(f '(x)\) quand \(x \rightarrow 0\) et \(x \rightarrow 1.\)

Aide simple

Les fonctions dérivées s'expriment pour\( x \in ] 0, 1[\) et \(x >1.\)

Aide détaillée

Pour \(x > 1,\) la fonction \(y '(x)\) ne s'annule pas.

Pour \(x \in ] 0, 1 [ ,\) \(y'(x)\) s'annule en un point \(x_0.\)

Solution simple

Si \(x > 1,\) alors \(y'(x)=\frac{x}{2\sqrt{\ln x}}(4\ln x-1)\neq 0\) et \(y '(x)\) ne s'annule pas sur \(x \in ] 1 , + \infty[\)

Si \(x \in ] 0 , 1 [ ,\) alors \(y'(x)=\frac{x}{2\sqrt{-\ln x}}(-4\ln x-1)\) et \(y'(x)\) s'annule pour \(4 \ln x + 1 = 0,\) c'est à dire pour \(\boxed{x = e ^{-1/4}}\)

D'autre part :

\(\color{blue}\begin{array}{l l l} \lim_{x\rightarrow 0^+}y'(x)=0&\color{black}\textrm{et} &\lim_{x\rightarrow 1^-}y'(x)=-\infty\\&&\lim_{x\rightarrow 1^+}y'(x)=+\infty\end{array}\)

Solution détaillée

Calculons les dérivées suivantes :

Si \(x> 1\)

\(y = x^2\ln\sqrt{\ln x} \Rightarrow \color{blue} y'(x)=\frac{x}{2\sqrt{\ln x}}(4\ln x-1)\)

or \(4 \ln x + 1\) ne s'annule pas sur cet intervalle.

Si \(x \in ] 0 , 1[\)

\(y = x^2\ln\sqrt{-\ln x} \Rightarrow \color{blue} y'(x)=\frac{-x}{2\sqrt{-\ln x}}(4\ln x-1)\)

or \(4\ln x + 1 = 0\) pour \(x = e ^{-1/4}\in ] 0 , 1[\)

Tableau de variations de \(f\) :

\(\color{blue}M\color{black} = (e^{-1/4})^2\sqrt{-\ln(e^{-1/4})}=\frac{1}{2}e^{-1/2}\approx\color{blue}0,3\)

En prolongeant la fonction par continuité au point zéro, nous pouvons calculer :

\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{y(x)-y(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^+}x\sqrt{|\ln x|} = 0\)

(Propriétés des croissances comparées)

La courbe à l'origine admet une demi tangente horizontale.

\(\textrm{quand }x\mapsto+1^-~~y'(x)=\frac{-x(4\ln x+1)}{2\sqrt{-\ln x}}~\textrm{et}~\color{blue}\lim_{x\rightarrow1^-}y'=-\infty\)

\(\textrm{quand }x\mapsto+1^+~~y'(x)=\frac{x(4\ln x+1)}{2\sqrt{\ln x}}~\textrm{et}~\color{blue}\lim_{x\rightarrow1^+}y'=+\infty\)

Le point de coordonnées \((1,0)\) est un point de rebroussement.

Question

Dérivée seconde \(f ".\) Inflexion.

Déterminer les abscisses des deux points d'inflexion de la courbe \((C)\) représentative de \(f.\)

Aide simple

Les abscisses des points d'inflexion sont les solutions de l'équation \(y"(x) = 0.\)

Aide détaillée

Pour \(x \in ] 0 , 1[\) et \(x > 1,\) l'équation \(y"(x) = 0\) conduit à la résolution de l'équation du second degré :

\(8 X^2 + 6X - 1 = 0\)\(X = \ln x\)

Solution simple

Pour \(x \in ] 0 , 1[\)

\(y''(x)=-\frac{8(\ln x)^2+6\ln x - 1}{4\ln x\sqrt{-\ln x}}\) et \(y''(x)=0\) pour \(\color{blue}x=e^{\frac{-3-\sqrt {17}}{8}}\)

Pour \(x > 1\)

\(y''(x)=\frac{8(\ln x)^2+6\ln x-1}{4\ln x\sqrt{\ln x}}\) et \(y''(x)=0\) pour \(\color{blue}x=e^{\frac{-3+\sqrt{17}}{8}}\)

Solution détaillée

Pour \(x \in ] 0, 1[ ,\) le calcul de \(y''(x)\) conduit à :

\(y''(x)=\frac{-2(4\ln x+5)\ln x+(4\ln x+1)}{4\ln x\sqrt{-\ln x}}=\color{blue}\frac{-8X^2-6X+1}{4X\sqrt{-X}}\)

avec \(\color{blue}X=\ln x\color{black}<0\)

d'où \(y''(x) = 0 \Rightarrow 8 X^2 + 6X - 1 = 0\) qui admet pour solutions : \(X=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{8}\)

seule la valeur négative convient :

\(\boxed{X=\ln x=\frac{-3-\sqrt{17}}{8}\Rightarrow\color{blue}x=e^{\frac{-3-\sqrt{17}}{8}}}\)

Pour \(x > 1,\) nous avons :

\(y''(x)=\frac{2(4\ln x+5)\ln x-(4\ln x+1)}{4\ln x\sqrt{\ln x}}=\color{blue}\frac{8X^2+6X+1}{4X\sqrt{X}}\)

avec \(\color{blue}X=\ln x\color{black}>0\)

d'où \(y''(x) = 0 \Rightarrow 8 X^2 + 6X - 1 = 0\) qui admet pour solutions : \(X=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{8}\)

seule la valeur positive convient :

\(\boxed{X=\ln x=\frac{-3+\sqrt{17}}{8}\Rightarrow\color{blue}x=e^{\frac{-3+\sqrt{17}}{8}}}\)

Question

Courbe représentative de \(f\)

Courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

Aide simple

Définir les tangentes horizontales et verticales.

Aide détaillée

Repérer les points d'inflexion sur le graphe.

Solution détaillée

Le tableau de variation permet de tracer la courbe représentative de \(y=x^2\sqrt{|\ln x|}.\)