Équations différentielles du 1er ordre

Solution générale \(y_0\) de l'équation homogène :

\(xy'-y=0\rightarrow\boxed{y_0=Cx}~~(C\text{ : constante})\)

Solution particulière \(y_1\) de l'équation avec un second membre \(f_1(x)=\ln|x|\) :

\(xy'-y=\ln|x|\rightarrow\boxed{y_1=-\ln|x|-1}\)

Solution particulière \(y_2\) de l'équation avec un second membre \(f_2(x)=x^2\) :

\(xy'-y=x^2\rightarrow\boxed{y_2=x^2}\)

D'où la solution générale : \(\boxed{y=y_0+y_1+y_2=Cx-\ln|x|-1+x^2}\) \((C\textrm{ constante réelle}).\)

D'après le théorème sur la résolution d'une équation différentielle linéaire du 1er ordre avec second membre nous avons :

\(y=y_0+y_1+y_2\) où :

• \(y_0\) est la solution générale de l'équation homogène :

  \(xy'-y=0\rightarrow y_0(x)=Ce^{\int\frac1xdx} = Ce^{\ln|x|}=Cx\)

• \(y_1\) est la solution particulière de l'équation avec second membre :

  \(xy'-y=\ln|x|\) à résoudre par la méthode de variation de la constante en posant :

  \(y_1(x)=C(x)x\) d'où \(x[C''(x)x+C(x)]-C(x)x=\ln|x|\)

  \(x^2C''(x)=\ln|x|\)

  \(C''(x)=\frac{\ln|x|}{x^2}\)

  une intégration par parties en posant :

  \(u=\ln|x|\rightarrow du=\frac1xdx\)

  \(dv=\frac1{x^2}dx\rightarrow v = -\frac1x\)

  conduit à : \(C(x)=\frac{-\ln|x|}x+\int\frac{dx}{x^2}=\frac{-\ln|x|}x-\frac1x\)

  d'où la solution particulière : \(\boxed{y_1=C(x)x-\ln|x|-1}\)

• \(y_2\) est la solution particulière de l'équation avec second membre : \(xy'-y=x^2\)

  à résoudre par la méthode de variation de la constante ou remarquer que \(y_2(x)=x^2\)est une solution évidente.

D'où la solution générale de cette équation différentielle :

\(\boxed{y=y_0+y_1+y_2=Cx-\ln|x|-1+x^2}\) \((C\textrm{ constante réelle}).\)