ED homogène et linéaire

Partie

Question

Intégrer l'équation différentielle \(xy'-2y+3x=0~~(E)\) en la considérant comme une équation homogène.

Aide simple

On résout \((E)\) sur \(\mathbb R^*\) en introduisant le paramètre \(t=y/x.\)

Aide détaillée

Puisque \(y=tx,\) alors \(y'=t'x+t,\) et l'équation \((E)\) devient \(t'x=t-3,\) que l'on intègre pour obtenir la fonction \(x(t).\)

Solution simple

L'intégration de l'équation différentielle \(t'x=t-3\) conduit à la solution sous forme paramétrique :

\(x=\lambda(t-3)\) et \(y=\lambda t(t-3),\) \(\lambda\in\mathbb R\)

ou \(y=Kx^2+3x,~~K\in\mathbb R.\)

Solution détaillée

Pour résoudre \((E),\) on introduit la fonction \(t=y/x,~~x\in\mathbb R^*\) et par dérivation, par rapport à \(x,\) de \(y=tx,\) nous obtenons \(y'=t'x+t.\)

En portant \(y\) et \(y'\) dans \((E)\) :

\(x(t'x+t)-2tx+3x=0\Leftrightarrow t'x=t-3\)

Pour \(t-3\neq 0,~~\frac{dx}x=\frac{dt}{t-3},\) qui par intégration conduit à : \(\ln|x|=\ln|t-3|+K.\)

D'où : \(\begin{cases}x=\lambda(t-3)\\y=\lambda t(t-3)\end{cases},\lambda\in\mathbb R\): Solution sous forme paramétrique de l'équation \((E)\)

Par élimination du paramètre \(t,\) nous obtenons les solutions de \((E)\) sous la forme : \(y=\mu x^2+3x,~~\mu\in\mathbb R.\)