Equations différentielles homogènes
Définition :
On appelle équation différentielle homogène du premier ordre, une équation de la forme \(F(y',\frac yx)=0\)qui résolue en \(y'\) conduit à \(\color{red}(E)~~y'=f(\frac yx)\)
Une fonction \(\varphi(x, y)\) est dite fonction homogène de degré \(n\) si : \(\forall t\in\mathbb R,\forall n\in\mathbb R_+^* :\color{red}\varphi(tx,ty)=t^n\varphi(x,y)\)
Exemple :
\(\varphi_1(x,y)=\sqrt{x+y}\) est homogène de degré \(1/2.\)
\(\varphi_2(x,y)=\sin\frac yx\)est homogène de degré \(0.\)
\(\varphi_3(x,y)=\frac1{x^2+y^3}\) est homogène de degré \(-3.\)
Résolution
On résout \(\color{blue}(E)\) sur \(R_-^*\) et \(R_+^*\) en introduisant une nouvelle fonction inconnue de la variable \(x\) :\(t(x)=\frac{y(x)}x\) notée simplement \(t=\frac yx\)ou \(y = tx.\)
L'équation résolue en \(y'=f(\frac yx)=f(t),\) associée à la relation :\(y'=\frac{dy}{dx}=\frac{d(tx)}{dx}=x\frac{dt}{dx}+t\) conduit à l'équation différentielle à variables séparables.
\(\color{red}t+x\frac {dt}{dx}=f(t)~~~~(E_1)\)
Si \(\color{red}f(t) - t \neq 0\), l'équation \((E_1)\) s'écrit :
\(\frac{dx}x=\frac{dt}{f(t)-t}\)
par intégration :
\(\color{blue}\ln|x|=\int\frac{dt}{f(t)-t}=F(t)+K\)
d'où
\(\color{red}x=Ce^{F(t)},~~y=Cte^{F(t)}\)
Nous obtenons une représentation paramétrique des courbes intégrales. Ces courbes dépendent d'une constante arbitraire \(C\) et sont homothétiques de l'une d'elles par les homothéties de centre \(O.\)
Si \(\color{red}f(t) - t = 0\), pour une valeur \(t_0\) alors \(f(t_0) = t_0\) définit une ou plusieurs valeurs de \(t\) qui donnent une ou plusieurs droites, dites singulières, d'équations \(y = t_0x.\)
Sur ces droites, on a \(y' = t_0,~\frac yx=t_0\) et la relation \(y'=f(\frac yx)\) est vérifiée.
Exemple :
Résolution sur \(\mathbb R^*\) de l'équation :
\((e)~~ y'x^2 - 2xy + y^2 = 0\)