Equations différentielles de Clairaut
Définition :
On appelle équation de Clairaut toute équation différentielle de la forme :
\(\color{red}y = x y' + g(y')~~\color{blue} (E)\)
où \(g(y')\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I \in\mathbb R.\)
Exemple :
\(y=xy'+y'^2\)
\(y=xy'+y'\ln y'\)
\(y=xy'+\sqrt{y'+4}\)
En posant comme nouvelle fonction :\( t = y ' = dy / dx \Leftrightarrow t' = y''\)
nous avons par dérivation de \(~~\color{blue} (E)\) :
\(y' = y' + xy'' + g'(y')y'' \Leftrightarrow 0 = y'' ( x + g'(y'))\)
d'où \(\color{red}t' ( x + g'(t) ) = 0 ~~\color{blue} (E_1)\)
Cette équation \(\color{blue} (E_1)\) admet comme solution
1er cas :
\(t' = 0 \Rightarrow t = y' = C (cste)\) et \(\color{red}y = Cx + g(C)\)
ces courbes intégrales sont représentées par une famille de droite.
2ème cas :
\(x + g'(t) = 0 \Rightarrow\color{red} x = \varphi(t)\)
\(\color{red}y\color{black} = xt + g(t) = \varphi(t) t + g(t) =\color{red} \psi(t)\)
\(\varphi(t)\) et \(\psi(t)\) fournissent les équations paramétriques d'une courbe qui est l'enveloppe de la famille de droites précédentes. C'est l'intégrale singulière de l'équation de Clairaut.
Exemple :
Résoudre \((E) : y = xy' + y'^2\)