Equations différentielles de Lagrange
Exemple :
On appelle équation de Lagrange, une équation différentielle de la forme :
\(\color{red}y = x f(y') + g(y')~~\color{blue} (E)\)
où \(f(y')\) et \(g(y')\) sont des fonctions dérivables sur un intervalle \(I \in\mathbb R.\)
L'équation de Clairaut est un cas particulier de l'équation de Lagrange \(( f(y') = y' )\)
Exemple :
\(y=xy'^2-\frac1{y'}\)
\(y=x(2+y')+y'^2\)
\(y=-xy'-\ln y'\)
Résolution
Par dérivation de l'équation\(\color{blue} (E)\) nous obtenons :
\(y' = f(y') + x f '(y') y'' + g'(y') y''\)
Le changement de fonction \(t(x) = y'(x) \Leftrightarrow t' = y''\) conduit à l'équation :
\(f(t) - t + t' [x f '(t) + g'(t)] = 0\)
Sachant que \(t'_x = 1/x_t'\) (relation entre dérivées de fonctions réciproques) l'équation précédente se transforme en une équation différentielle linéaire en \(x(t).\)
\(( f(t) - t) x' + f '(t) x = - g'(t)\)
La résolution de cette équation linéaire admet pour solution :
\(\color{red}x(t)\color{black} = x_H + x_p = \color{red}F(t)\)
\(\color{red}y(t)\color{black} = x f(t) + g(t) = F(t) f(t) + g(t) = \color{red}G(t)\)
Nous obtenons des équations paramétriques \(\color{red}F(t)\) et \(\color{red}G(t)\) pour des courbes intégrales.
Exemple :
Résoudre : \(y = x y'^2 - 1/y'\)