Equations différentielles de Riccati [Équations différentielles du 1er ordre]

Equations différentielles de Riccati

Une équation différentielle de Riccati est de la forme :

\(\color{red}a(x) y' + b(x) y = c(x) y^2 + d(x)\)

où \(a,\) \(b,\) \(c\) et \(d\) sont des fonctions continues de \(x.\)

Pour les valeurs de \(x\) où le coefficient \(a(x)\) ne s'annule pas, nous obtenons après simplification :

\(\color{red}y' + A(x) y = B(x) y^2 + C(x)~~\color{blue} (E)\)

Si \(C(x) = 0,\) nous retrouvons un cas particulier d'équation de Bernoulli \((\alpha = 2).\)

\(x^3y'+y^2+yx^2+2x^4=0~~(y_p=-x^2)\)

\((y'-y^2)\cos x + y(2\cos^2x+\sin x)=\cos^3x~~(y_p=\cos x)\)

\((x^2+1)y'=y^2-1~~(y_p=1)\)

L'intégration d'une équation différentielle de Riccati nécessite la connaissance d'une solution particulière \(y_p\) de cette équation
Le changement de fonction inconnue : \(z(x) = y(x) - y_p(x)\) transforme l'équation différentielle :
\(\color{red}y' + A(x) y = B(x) y^2 + C(x)~~\color{blue} (E)\)
en
\((z + y_p)' + A(x)(z + y_p) = B(x)(z + y_p)2 + C(x)\)
\(z' + A(x)z + y_p' + A(x)y_p = B(x)z^2 + 2B(x)zy_p + B(x)y_p^2 + C(x)\)
Or \(y_p\) solution particulière de l'équation de Riccati vérifie :
\(y_p' + A(x) y_p = B(x) y_p^2 + C(x)\)
Cette simplification nous conduit à l'équation de Bernoulli \((\alpha = 2)\) :
\(\color{red}z' + [A(x) - 2B(x)y_p] z = B(x)z^2~~\color{blue} (E')\)
On posera un nouveau changement de fonction \(u(x) = 1 / z(x)\) pour se ramener à une équation différentielle linéaire en \(u(x)\) :
\(\color{red}-u' + [A(x) - 2B(x)y_p] u = B(x)~~\color{blue} (E'')\)
Après résolution de cette dernière équation, la solution \(y(x)\) de l'équation de Riccati sera obtenue par :
\(\color{blue}y(x) = z(x) + y_p(x)\)
avec \(z(x) = 1 / u(x)\) et où \(y_p(x)\) est donné.

Résoudre, l'équation différentielle \((E) : x^3 y' + y^2 + yx^2 + 2x^4 = 0~~ (y_p = -x^2)\)