Physique
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Généralités
Définition

On appelle équation différentielle (ED), d'ordre , toute relation de la forme :

liant une fonction inconnue de la variable et ses fonctions dérivées successives

Exemple

Définition

L'équation différentielle est résolue (ou normaliser) par rapport à si la relation précédente peut se mettre sous la forme :

Exemple

se ramène à

se ramène à

avec problème de raccords en et

ne conduit pas simplement à une équation normalisée

Définition

On appelle intégrale ou solution de l'équation sur un intervalle toute fonction fois dérivable sur vérifiant :

La courbe plane définie par se nomme courbe intégrale.

Exemple

est une solution de

est une solution de

est une solution de

est une solution de

est une solution de

est une solution de

est une solution de

est une solution de

Définition

Résoudre ou intégrer une équation différentielle sur un intervalle c'est trouver l'ensemble de toutes les solutions.

Exemple

a pour solution

a pour solution, avec

Définition

La solution générale d'une équation différentielle d'ordre dépend de constantes arbitraires :

Exemple

Définition

Pour certaines valeurs des constantes arbitraires, on obtient des intégrales particulières. Il faut connaître conditions supplémentaires (dites initiales quand la variable est nulle) pour une équation différentielle d'ordre

Exemple

La solution de : qui vérifie est

La solution de : qui vérifie et est

La solution de : vérifiant et est

Définition

Dans certains cas, l'intégrale générale ne représente pas toutes les solutions de l'équation différentielle : il existe alors des intégrales dites singulières.

Exemple

L'équation différentielle (ED de Clairaut) a pour intégrale générale Les courbes intégrales forment une famille de droites de paramètre. Ces courbes admettent une parabole enveloppe de ces droites, d'équation représentant l'intégrale singulière.

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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